On the Asymptotic Stability and Ultimate Boundedness of Solutions of a Class of Nonlinear Systems with Delay

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

For a certain class of nonlinear systems of differential equations with constant delay, we study the conditions for the asymptotic stability of the zero solution and the ultimate boundedness of the solutions. To obtain such conditions, we propose special constructions of Lyapunov–Krasovskii full-type functionals. Estimates of the transient time are found, and an analysis of the influence of perturbations on the dynamics of systems is carried out. In addition, we study the case in which the systems have switching operation modes and determine conditions under which the asymptotic stability or ultimate boundedness is preserved for any admissible switching laws.

About the authors

A. Yu Aleksandrov

St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034, Russia

Author for correspondence.
Email: a.u.aleksandrov@spbu.ru
Санкт-Петербург, Россия

References

  1. Karafyllis I., Malisoff M., Mazenc F., Pepe P. Recent Results on Nonlinear Delay Control Systems. Cham, 2016.
  2. Fridman E. Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control. Basel, 2014.
  3. Richard J.-P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems // Automatica. 2003. V. 39. P. 1667-1694.
  4. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Об одном способе математического моделирования электрических синапсов // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 7. С. 867-881.
  5. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.П. Стратегии прицеливания в направлении квазиградиентов в задачах оптимального управления системами с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 11. С. 1515-1524.
  6. Liu G., Hua C., Guan X. Asynchronous stabilization of switched neutral systems: a cooperative stabilizing approach // Nonlin. Anal.: Hybrid Systems. 2019. № 33. P. 380-392.
  7. Проблемы сетевого управления / Под ред. А.Л. Фрадкова. М.; Ижевск, 2015.
  8. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М., 1984.
  9. Kharitonov V.L. Time-Delay Systems. Lyapunov Functionals and Matrices. Boston, 2013.
  10. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М., 1972.
  11. Метельский А.В. Одновременная стабилизация семейства дифференциальных систем с запаздыванием динамической обратной связью по состоянию // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11. С. 1516-1535.
  12. Efimov D., Polyakov A., Perruquetti W., Richard J.P. Weighted homogeneity for time-delay systems: finite-time and independent of delay stability // IEEE Trans. Automatic Control. 2016. V. 61. № 1. P. 210-215.
  13. Schiffer J., Fridman E., Ortega R., Raisch J. Stability of a class of delayed port-hamiltonian systems with application to microgrids with distributed rotational and electronic generation // Automatica. 2016. V. 74. P. 71-79.
  14. Aleksandrov A., Efimov D. Stability analysis of switched homogeneous time-delay systems under synchronous and asynchronous commutation // Nonlin. Anal.: Hybrid Systems. 2021. V. 42. Art. 101090.
  15. Зубов В.И. Устойчивость движения. М., 1973.
  16. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М., 1970.
  17. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М., 1980.
  18. Liao X., Yu P. Absolute Stability of Nonlinear Control Systems. New York; Heidelberg, 2008.
  19. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.
  20. Косов А.А., Козлов М.В. Об асимптотической устойчивости однородных сингулярных систем с переключениями // Автоматика и телемеханика. 2019. № 3. C. 45-54.
  21. Александров А.Ю., Жабко А.П., Печерский В.С. Функционалы полного типа для некоторых классов однородных дифференциально-разностных систем // Сб. тр. VIII межд. науч. конф. "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий". Воронеж, 21-26 сентября 2015 г. Воронеж, 2015. С. 5-8.
  22. Efimov D., Aleksandrov A. Analysis of robustness of homogeneous systems with time delays using Lyapunov-Krasovskii functionals // Int. J. Robust Nonlin. Control. 2021. V. 31. № 9. P. 3730-3746.
  23. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field // Systems Control Lett. 1992. V. 19. P. 467-473.
  24. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М., 1948.
  25. Zheng D., Zhang H., Zhang J.A., Zheng W., Su S.W. Stability of asynchronous switched systems with sequence-based average dwell time approaches // J. Franklin Inst. 2020. V. 357. № 4. P. 2149-2166.
  26. Васильев С.Н., Косов А.А. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. C. 27-46.
  27. Aleksandrov A.Yu., Kosov A.A., Platonov A.V. On the asymptotic stability of switched homogeneous systems // Syst. Control Lett. 2012. V. 61. № 1. P. 127-133.
  28. Мартынюк А.А., Оболенский А.Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 8. С. 1392-1407.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences