Problem of the Boundary Control of Oscillations of a Sample of a Layered Two-Phase Composite Material

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the problem of the boundary control of one-dimensional oscillations of an effective (averaged) medium corresponding to a two-phase medium consisting of periodically alternating layers of elastic and viscoelastic materials with long-term memory or various viscoelastic materials with Kelvin–Voigt friction and long-term memory. The averaged model is described by a boundary value problem for an integrodifferential equation. It is shown that for this model, it is impossible to bring oscillations to a state of rest in finite time (in contrast to the equation of string oscillations) by a force acting at one end of the band. A hypothesis is formulated on the possibility of bringing the specified object to a state of rest with the help of force effects distributed along the entire length of the object.

About the authors

A. A. Egorova

MIREA–Russian Technological University, 119454, Moscow, Russia

Email: alena.egorova@gmail.com
Россия, Москва

A. S. Shamaev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

Author for correspondence.
Email: sham@rambler.ru
Россия, Москва

References

  1. Шамаев А.С., Шумилова В.В. Усреднение уравнений акустики для частично перфорированного вязкоупругого материала с вязкой жидкостью // Докл. АН. 2011. Т. 436. № 2. С. 199–202.
  2. Шамаев А.С., Шумилова В.В. Усреднение уравнений акустики для вязкоупругого материала с каналами, заполненными вязкой сжимаемой жидкостью // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 2. С. 92–103.
  3. Шумилова В.В. Об усреднении задачи вязкоупругости с долговременной памятью // Мат. заметки. 2013. Т. 94. № 3. С. 451–454.
  4. Шамаев А.С., Шумилова В.В. О спектре одномерных колебаний композита, состоящего из слоев упругого и вязкоупругого материалов // Сиб. журнал индустр. математики. 2012. Т. 15. № 4. С. 124–134.
  5. Шамаев А.С., Шумилова В.В. О спектре одномерных колебаний в среде из слоев упругого материала и вязкоупругого материала Кельвина–Фойгхта // ЖВМ и МФ. 2013. Т. 53. № 2. С. 282–290.
  6. Шамаев А.С., Шумилова В.В. О спектре одного интегро-дифференциального уравнения, возникающего в теории вязкоупругости // Пробл. матем. анализа. 2012. Вып. 63. С. 189–192.
  7. Седлецкий А.М. Негармонический анализ // Итоги науки и техн. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры 2006. Т. 96. С. 106–211.
  8. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.
  9. Nguetseng G. Asimptotic Analysis for a Stiff Variational Problem Arising in Mechanics // SIAM J. Math. Analys. 1990. V. 21. № 6. P. 1396–1414.
  10. Gilbert R.P., Mikeli A. Homogenizing the Acoustic Properties of the Seabed. Pt I // Nonlinear Analys. 2000. T. 40. P. 185–212.
  11. Clopeau Th., Ferrin J.L., Gilbert R.P., Mikeli A. Homogenizing the Acoustic Properties of the Seabed. Pt II // Math. and Comput. Modelling. 2001. V. 33. P. 821–841.
  12. Мейрманов A.M. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмоакустики в упругих пористых средах // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48. № 3. С. 645–667.
  13. Meirmanov A. A Description of Seismic Acoustic Wave Propagation in Porous Media via Homogenization // SIAM J. Math. Anal. 2008. V. 40. № 3. P. 1272–1289.
  14. Космодемьянский Д.А., Шамаев А.С. Спектральные свойства некоторых задач механики сильно неоднородных сред // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 6. С. 75–114.
  15. Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике // Совр. математика. Фундаментальные направления. 2011. Т. 39. С. 36–65.
  16. Eremenko A., Ivanov S. Spectra of the Gurtin-Pipkin Type Equations // SIAM J. Math. Anal. 2011. V. 43. P. 2296–2306.
  17. Chernousko F.L. Bounded Control in Distributed-Parameter Systems // J. Applied Mathematics and Mechanics. 1992. V. 56. № 5. P. 707–723.
  18. Ivanov S., Pandolfi L. Heat Equations with Memory: Lack of Controllability to Rest // J. Mathematical Analysis and Applications. 2009. V. 355. № 1. P. 1–11.
  19. Romanov I., Shamaev A. Exact Controllability of the Distributed System Governed by String Equation with Memory // J. Dynamical and Control Systems. 2013. V. 19. № 4. P. 611–623.
  20. Романов И.В. Исследование управляемости для некоторых динамических систем с распределенными параметрами, описываемых интегродифференциальными уравнениями // Изв. РАН. ТиСУ. 2022. № 2. С. 58–61.
  21. Romanov I., Shamaev A. Some Problems of Distributed and Boundary Control for System with Integral Aftereffect // J. Mathematical Sciences. 2018. V. 234. № 4. P. 470–484.
  22. Romanov I., Shamaev A. Exact Controllability of the Distributed System Governed by Wave Equation with Memory // arXiv. Doi https://doi.org/1503.04461
  23. Shamaev A., Romanov I. Exact Bounded Boundary Controllability to Rest for the Two-Dimensional Wave Equation // J. Optimization Theory and Applications. 2021. V. 188. № 3. P. 925–938.
  24. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.
  25. Lions J.L. Exact Controllability. Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // SIAM Review. 1988. V. 30. № 1. P. 1–68.
  26. Шумилова В.В. Об усреднении задачи вязкоупругости с долговременной памятью // Мат. заметки. 2013. Т. 94. № 3. С. 441–454.
  27. Тихонов Ю.А. Исследование операторных моделей Кельвина–Фойгхта, возникающих в теории вязкоупругости: Дис. … канд. физ.-мат. наук по специальности 1.1.1 2022. https://istina.msu.ru/dissertations/507229766/.
  28. Biccari U., Micu S. Null-controllability Properties of the Wave Equation with a Second Order Memory Term // J. Differential Equations. 2019. V. 265. № 2. P. 1376–1422.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2.

Download (8KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2023 А.А. Егорова, А.С. Шамаев