An Algorithm for Finding the Generalized Chebyshev Center of Sets Defined via Their Support Functions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

Статья посвящена задаче оптимизации. Пусть A,B ⊂ Rn - выпуклые компакты. Рассмотрим минимальное число t0 > 0 такое, что t0B накрывает A после сдвига на вектор x0 ∈ Rn. Цель - найти t0 и x0. В частном случае, когда B является единичным шаром с центром в нуле, x0 и t0 известны как чебышевский центр и чебышевский радиус A. В данной статье рассматривается случай, когда A и B определяются с помощью своих опорных функций. Предложен алгоритм в духе гардиентного спуска Б.Т. Поляка для эффективного решения таких задач. Алгоритм имеет сверхлинейную скорость сходимости и может решать стомерные тестовые задачи за разумное время, однако для гарантии наличия сходимости необходимы некоторые дополнительные условия на A и B. Дополнительно исследовано поведение алгоритма для простого частного случая, что приводит к ряду теоретических результатов. Изучаются также возмущения этого частного случая.

About the authors

P. A Arkhipov

Институт науки и технологий (ISTA)

Email: pavel.arkhipov@ist.ac.at
Австрия

References

  1. Балашов М.В. Покрытие множества выпуклым компактом: оценки погрешности и вычисление // Матем. заметки. 2022. Т. 112. № 13. С. 337–349.
  2. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
  3. R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. Princeton University Press, 1997.
  4. Botkin N., Turova V. An algorithm for finding the Chebyshev center of a convex polyhedron // Appl. Mat. Optim. 1995. V. 29. P. 211–222.
  5. Xia Y., Yang M. Chebyshev center of the intersection of balls: complexity, relaxation and approximation // Mathematical Programming. 2021. V. 187. P. 287–315.
  6. Frankowska H., Olech C. R-convexity of the integral of set-valued functions // Contribut. Anal. Geometry. 1980. V. 117–129.
  7. Vial J.-Ph. Strong and Weak Convexity of Sets and Functions // Mathematics of Operations Research. 1983. V. 8. No. 2. P. 231–259.
  8. Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. Cambridge University Press, 2004.
  9. Li X., Zhu Z., Man-Cho S., Lee J.D. Incremental Methods for Weakly Convex Optimization // arXiv, 2019. V. 1907.11687v1.
  10. Davis D., Drusvyatskiy D., MacPhee K.J., Paquette C. Subgradient Methods for Sharp Weakly Convex Functions // arXiv, 2018. V. 1803.02461v1.
  11. Schneider R., Uschmajew A. Convergence results for projected line search methods on varieties of low-rank matricies via Lojasiewicz inequality // SIAM J. Optim. 2015. V. 25. No. 1. P. 622–646.
  12. Balashov M.V. About the Gradient Projection Algorithm for a Strongly Convex Function and a Proximally Smooth Set // J. Convex Anal. 2017. V. 24. No. 2. P. 493–500.
  13. Bello-Cruz Y., Li G., Nghia T.T.A. On the Linear Convergence of ForwardBackward Splitting Method: Part I – Convergence Analysis // J. Optim. Theory Appl. 2021. V. 188. P. 378–401.
  14. Ioffe A.D. Metric regularity – a survey Part I // J. Austral. Math. Soc. 2016. V. 101. P. 1–56.
  15. Absil P.-A., Mahony R., Sepulchre R. Optimization Algorithms onMatrix Manifolds. Princeton University Press, 2008.
  16. Cen X., Xia Y., Gao R., Yang T. On Chebyshev Center of the Intersection of Two Ellipsoids // Optimization of Complex Systems: Theory, Models, Algorithms and Applications. Springer International Publishing, 2020. P. 135–144.
  17. Beltran F., Finardi E.C., Fredo G.M., Oliveira W. Improving the performance of the stochastic dual dynamic programming algorithm using Chebyshev centers // Optim. Engineer. 2022. V. 23. P. 147–168.
  18. Beck A., Eldar Y.C. Regularization in Regression with Bounded Noise: A Chebyshev Center Approach // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2007. V. 29. No. 2. P. 606–625.
  19. Cerone V., Piga D., Regruto D. Set-Membership Error-in-Variables Identification Through Convex Relaxation Techniques // IEEE Transact. Autom. Control. 2012. V. 57. No. 2. P. 517–522.
  20. Hou J., Teng F., Yin W., Song Y., Hou Y. A Cost-Effective Cyber-Defense Strategy: Attack-Induced Region Minimization and Cybersecurity Margin Maximization // arXiv. 2023. V. 2302.07597.
  21. Samadi S., Roux J., Tanguy A., Caron S., Kheddar A. Some journal publication in English // IEEE Robot. Autom. Lett. 2021. V. 6. No. 2. P. 4032–4039.
  22. Ren X., Mo Y., Chen J., Johansson K.H. Secure state estimation with byzantine sensors: A probabilistic approach // IEEE Transact. Autom. Control. 2020. V. 65. No. 9. P. 3742–3757.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 The Russian Academy of Sciences