№ 5 (2024)

Рассматриваются некоторые задачи о многозначных отображениях, которые могут быть сведены к минимизации положительно однородной липшицевой функции на единичной сфере. Последняя задача может быть в некоторых случаях решена алгоритмом первого порядка – методом проекции градиента. Вкачестве одного из примеров рассмотрен случай, когда многозначное отображение есть множество достижимости автономной линейной управляемой системы. Для ряда постановок доказана линейная сходимость метода проекции градиента в рассматриваемой ситуации. Мы используем схему доказательства сходимости градиентного метода, предложенную Б.Т. Поляком, в случае выполнения неравенства Лежанского– Поляка–Лоясевича. Вотличие от други х способов решения, например при помощи аппроксимации множества достижимости, приведенные алгоритмы гораздо слабее зависят от размерности фазового пространства и других параметров задачи. Также возможна эффективная оценка ошибок. Численные эксперименты подтверждают эффективность рассматриваемого подхода. Помимо множества достижимости, рассмотренные алгоритмы могут быть применены к различным теоретико-множественным задачам с многозначными отображениями достаточно общего вида.

Статья посвящена анализу области допустимых режимов энергетических систем. Рассматриваются задачи вычисления допустимых и предельных режимов энергосистем, анализа геометрии области допустимых режимов и генерирования точек в этой области. Проводятся параллели с работами Б.Т. Поляка по анализу образа квадратичного отображения, модификации метода Ньютона и развитию методов генерации асимптотически равномерных выборок в областях со сложной геометрией. Особое внимание уделено методу Ньютона с условием трансверсальности и его применению для построения процедуры граничного оракула и генерации с его помощью точек в области допустимых режимов.