Forward and Inverse Source Reconstruction Problems for the Equations of Vibrations of a Rectangular Plate

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

For the equation of vibrations of a rectangular plate, the initial-boundary value and inverse problems of finding the right-hand side (the source of vibrations) are studied. Solutions of the problems are constructed explicitly as sums of series, and the corresponding uniqueness and existence theorems are proved. When substantiating the existence of a solution to the inverse problem of determining the factor on the right-hand side, which depends on spatial coordinates, the problem of small denominators of two natural variables arises, for which estimates of the separation from zero with the corresponding asymptotics are established. These estimates made it possible to prove the existence theorem for this problem in the class of regular solutions by imposing certain smoothness conditions on the given boundary functions.

About the authors

K. B. Sabitov

Institute of Mathematics with Computing Center, Ufa Federal Research Center, Russian Academy of Sciences; Sterlitamak Branch, Bashkir State University

Author for correspondence.
Email: sabitov_fmf@mail.ru
450008, Ufa, Bashkortostan, Russia; 453103, Sterlitamak, Russia

References

  1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с. (изд. 3).
  2. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматлит, 1967. 444 с.
  3. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях: Введение в метод промежуточных задач Вайнштейна. М.: Мир, 1970. 328 с.
  4. Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин. Днепропетровск: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010. 216 с.
  5. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Сам. гос. техн.ун-та. Сер. Физ.-м-атем. науки. 2015. Т. 19. № 2. С. 311–324.
  6. Сабитов К.Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Дифференц. ур‑ния. 2017. Т. 53. № 1. С. 89–100.
  7. Сабитов К.Б. Начальная задача для уравнения колебаний балок // Дифференц. ур-ния, 2017. Т. 53. № 5. С. 665–671.
  8. Сабитов К.Б., Акимов А.А. Начально-граничная задача для нелинейного уравнения колебаний балки // Дифференц. ур-ния. 2020. Т. 56. № 5. С. 632–645.
  9. Сабитов К.Б. Обратные задачи для уравнения колебаний балки по определению правой части и начальных условий // Дифференц. ур-ния. 2020. Т. 56. № 6. С. 773–785.
  10. Орловский Д.Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференц. ур-ния. 1989. Т. 25. № 6. С. 1000–1009.
  11. Орловский Д.Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения // Дифференц. ур-ния. 1990. Т. 26. № 9. С. 1614–1621.
  12. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 208 с.
  13. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York; Basel: Marcel Dekker Inc, 1999. 709 p.
  14. Соловьев В.В. Обратные задачи определения источника и коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 8. С. 1365–1377.
  15. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с. (изд. 2).
  16. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи матем. наук. 1963. Т. XVIII. Вып. 6 (114). С. 91–192.
  17. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений с частными производными высоких порядков // Матем. заметки. 2015. Т. 97. Вып. 2. С. 262–276.
  18. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2013. 352 с. (изд. 2).
  19. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. 2. М.: Изд. МГУ, 1987. 358 с.
  20. Бухштаб А.А. Теория чисел. СПб.: Лань, 2008. 384 с.
  21. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Матем. заметки. 2010. Т. 87. № 6. С. 907–918.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 К.Б. Сабитов