Numerical Algorithm for Source Determination in a Diffusion–Logistic Model from Integral Data Based on Tensor Optimization

T. A. Zvonareva; Звонарева Т. А.; S. I. Kabanikhin; Кабанихин С. И.; O. I. Krivorotko; Криворотько О. И.

doi:10.31857/S0044466923090193

Numerical Algorithm for Source Determination in a Diffusion–Logistic Model from Integral Data Based on Tensor Optimization

Authors: Zvonareva T.A.¹^,2, Kabanikhin S.I.²^,3, Krivorotko O.I.⁴^,3
Affiliations:
1. Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences
2. Novosibirsk State University
3. Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences
4. Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences Novosibirsk State University
Issue: Vol 63, No 9 (2023)
Pages: 1513-1523
Section: Optimal control
URL: https://rjmseer.com/0044-4669/article/view/664982
DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466923090193
EDN: https://elibrary.ru/DFESUX
ID: 664982

Cite item

Full Text

Open Access
Restricted Access

Access granted
Restricted Access

Subscription or Fee Access

Abstract
About the authors
References
Supplementary files
Statistics

Abstract

An algorithm has been developed for numerically solving the source determination problem in the model of information dissemination in synthetic online social networks, described by reaction–diffusion-type equations, using additional information about the process at fixed time points. The degree of ill-posedness of the source determination problem for a parabolic equation is studied based on the analysis of singular values of the linearized operator of the inverse problem. The algorithm developed is based on a combination of the tensor optimization method and gradient descent supplemented with the A.N. Tikhonov regularization. Numerical calculations demonstrate the smallest relative error in the reconstructed source obtained by the developed algorithm in comparison with classical approaches.

Keywords

source determination problem, reaction–diffusion model, inverse problem, tensor optimization, regularization, gradient methods

References

Четверушкин Б.Н., Осипов В.П., Балута В.И. Подходы к моделированию последствий принятия решений в условиях противодействия // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2018. № 43. 15 с.
Wang F., Wang H., Xu K., Wu J., Jia X. Characterizing Information Diffusion in Online Social Networks with Linear Diffusive Model // Proceed. of ICDCS. 2013. P. 307–316.
Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюлл. МГУ. Сер. А. Математика и механика. 1937. Т. 1. № 6. С. 1–26.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
Самохвалов Д.И. Определение аккаунтов злоумышленников в социальной сети ВКонтакте при помощи методов машинного обучения // Тр. Института системного программирования РАН. 2020. Т. 32. № 3. С. 109–117.
Kabanikhin S. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2009. V. 16. № 4. P. 317–357.
Бухгейм А.Л., Клибанов М.В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. № 2. С. 269–272.
Yamamoto M., Zou J. Simultaneous reconstruction of the initial temperature and heat radiative coefficient // Inverse Problems. 2001. V. 17. P. 1181.
Bellassoued M., Yamamoto M. Inverse source problem for a transmission problem for a parabolic equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2006. V. 14(1). P. 47–56.
Cristofol M., Garnier J., Hamel F., Roques L. Uniqueness from pointwise observations in a multi-parameter inverse problem // Commun. Pure and Appl. Analys. 2012. V. 11(1). P. 173–188.
Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. New York: Springer, 2017.
Hasanov A. Simultaneous determination of source terms in a linear parabolic problem from the final overdetermination: Weak solution approach // J. Math. Analys. Appl. 2007. V. 330. Iss. 2. P. 766–779.
Penenko A., Mukatova Z. Inverse modeling of diffusion-reaction processes with image-type measurement data // 2018 11th Inter. Multiconference Bioinformatics of Genome Regulation and Structure/Systems Biology (BGRS/SB). 2018. P. 39–43.
Kaltenbacher B., Rundell W. The inverse problem of reconstructing reactionвЂ“diffusion systems // Inverse Problems. 2020. V. 36. P. 065011.
Моисеев Т.Е., Мышецкая Е.Е., Тишкин В.Ф. О близости решений невозмущенных гиперболизированных уравнений теплопроводности для разрывных начальных данных // Докл. АН. Математика. 2018. Т. 481. № 6. С. 605–609.
Четверушкин Б.Н., Ольховская О.Г. Моделирование процесса лучистой теплопроводности на высокопроизводительных вычислительных системах // Докл. АН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 491. № 1. С. 111–114.
Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 195–198.
Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. 1948. Т. 22(64). № 2. С. 193–204.
Krivorotko O., Zvonareva T., Zyatkov N. Numerical solution of the inverse problem for diffusion-logistic model arising in online social networks // Commun. Comput. Info. Sci. 2021. V. 1476. P. 444–459.
Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.
Zheltkova V.V., Zheltkov D.A., Grossman Z., Bocharov G.A., Tyrtyshnikov E.E. Tensor based approach to the numerical treatment of the parameter estimation problems in mathematical immunology // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2018. V. 26. № 1. P. 51–66.
Oseledets I.V., Tyrtyshnikov E.E. TT-cross approximation for multidimensional arrays // Linear Algebra Appl. 2010. V. 432. № 1. P. 70–88.
Goreinov S.A., Oseledets I.V., Savostyanov D.V., Tyrtyshnikov E.E., Zamarashkin N.L. How to Find a Good Submatrix // Matrix Methods: Theory, Algorithms and Appl. 2010. P. 247–256.
Mikhalev A., Oseledets I. Rectangular maximum-volume submatrices and their applications // Linear Algebra Appl. 2018. V. 538. P. 187–211.
Gasnikov A.V., Nesterov Y.E. Universal method for stochastic composite optimization problems // Comput. Math. Math. Phys. 2018. V. 58. № 1. P. 48–64.
Звонарева Т.A., Криворотько О.И. Сравнительный анализ градиентных методов определения источника диффузионно-логистической модели // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 4. С. 694–704.