ASYMPTOTIC ANALYSIS OF EIGENVALUES FOR CONCENTRATED MASSES APPROACHING ONE ANOTHER

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

. A spectral Dirichlet problem in a three-dimensional domain with several identical concentrated heavy masses (large density perturbations on small sets) is studied. Asymptotics of its eigenvalues and eigenfunctions are constructed depending on two parameters: a small one characterizing the size and the density of the inclusions and a timelike parameter describing their approach to the origin (or to a point on the boundary of the domain). The basic novelty is the construction of two-scale asymptotic expansions and the derivation of uniform estimates for asymptotic remainders

About the authors

S. A Nazarov

Institute of Problems of Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences

Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Saint Petersburg

References

  1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  2. Sanchez-Palencia E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of systems with concentrated masses // Trends in applications of pure mathematics to mechanics (Palaiseau, 1983), Lecture Notes in Phys., 195, Berlin: Springer, 1984. P. 346–368.
  3. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах // Изв. Николаевской морской академии. 1913. Вып. 2. С. 325—348.
  4. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: Гос. тех. изд-во, 1950.
  5. Олейник O.A. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами // Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988. C. 101—128.
  6. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the eigenvalues of a membrane with a concentrated mass // Quart. Appl. Math. 1989. V. 47. № 1. P. 93—103.
  7. Назаров С.А. Об одной задаче Санчес-Паленсия с краевыми условиями Неймана // Изв. ВУЗов. Матем. 1989. № 11. С. 60–66.
  8. Oleinik O.A, Sanchez-Hubert J., Yosifian G.A. On vibrations of a membrane with concentrated masses // Bull. Sci. Math. 1991. V. 115. № 1. P. 1—27.
  9. Gomez D., Lobo M., Perez E. On the eigenfunctions associated with the high frequencies in systems with a concentrated mass // J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. № 8. P. 841—865.
  10. Canzos J., Perez E., Vilasanchez M. Asymptotics for the eigenelements of the Neumann spectral problem with concentrated masses // Indiana Univ. Math. J. 2007. V. 56. № 4. P. 1939—1987.
  11. Sanchez Hubert J, Sanchez Palencia E. Vibration and coupling of continuous systems. Asymptotic methods. Berlin: Springer-Verlag, 1989.
  12. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: МГУ, 1990.
  13. Lobo M., Perez E. On vibrations of a body with many concentrated masses near the boundary // Math. Model. Meth. Appl. Sci. 1993. V. 3. № 2. P. 249—273.
  14. Campillo M., Dascalu C., Ionescu I. Inestability of a periodic systems of faults // Geophys. J. Int. 2004. V. 159. P. 212—222.
  15. Chechkin G.A., Cioranescu D., Damlamian A., Piatnitski A.L. On boundary value problem with singular inhomogeneity concentrated on the boundary // J. de Mathematiques Pures et Appliquees. 2012. V. 98. № 2. P. 115–138.
  16. Мельник Т.А., Чечкин Г.А. Собственные колебания густых каскадных соединений со “сверхтяжелыми” концентрированными массами // Изв. РАН. 2015. Т. 79. № 3. C. 41–86.
  17. Nazarov S.A., Perez M.E. On multi-scale asymptotic structure of eigenfunctions in a boundary value problem with concentrated masses near the boundary // Revista Matematica Complutense. 2018. V. 31. № 1. P. 1—62.
  18. Назаров С.А. Асимптотика собственных чисел задачи Неймана при концентрации масс на тонком тороидальном множестве // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2006. Вып. 3. № 15. С. 61–71.
  19. Назаров С.А. Осреднение краевых задач в области, содержащей тонкую полость с периодически изменяющимся сечением // Тр. Московского матем. общества. 1990. Т. 53. С. 98–129.
  20. Олейник О.А., Шапошникова Т.А. Об усреднении бигармонического уравнения в области, перфорированной вдоль многообразий малой размерности // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 6. С. 830-–842.
  21. Лобо М., Олейник О.А., Перес М.Е., Шапошникова Т.А. О граничных задачах в областях, перфорированных вдоль многообразий // Успехи матем. наук. 1997. Т. 52. № 4. С. 205—206.
  22. Nazarov S.A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1993. V. 27. № 6. P. 777–799.
  23. Nazarov S.A., Plamenevsky B.A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1994.
  24. Назаров С.А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. № 5. С. 77–142.
  25. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Московск. матем. общества. 1963. Т. 16. С. 219–292.
  26. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
  27. Mazja W.G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestorten Gebieten. 1 & 2 Berlin: Akademie-Verlag. 1991. (Английский перевод : Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1 & 2. Basel: Birkhauser Verlag, 2000).
  28. Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 c.
  29. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
  30. Ильин А.М., Сулейманов Б.И. Асимптотика функции Грина для эллиптического уравнения второго порядка около границы области // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. Т. 47. № 6. С. 1322–1339.
  31. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Об асимптотике решений эллиптических краевых задач при нерегулярном возмущении области // Проблемы матем. анализа. Вып. 8. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. С. 72–153.
  32. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  33. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  34. Назаров С.А. “Дальнодействие” концентрированных масс в двумерных задачах Неймана и Дирихле // Изв. РАН. Сер. матем. 2023. Т. 87. № 1. С. 65–118.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences