THE SMALL PARAMETER METHOD IN THE THEORY OF BURGERS-TYPE EQUATIONS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Abstract. Introduced by G. Bateman in 1915 and studied by J. M. Burgers in 1948, the Burgers equation has found wide application in fluid mechanics, nonlinear acoustics and other fields of applied mathematics. The approaches to its solution were very diverse: asymptotic, numerical, and analytical. In this paper, an analytical method for solving a Burgers-type equation in a Banach space is developed. Namely, after artificially introducing a small parameter into the equation, the existence of an analytical solution for this parameter is proved. At the same time, a multidimensional version of the equation is also considered.

About the authors

V. I. Kachalov

NRU Moscow Energy Institute

Email: vikachalov@rambler.ru
Moscow

D. A. Maslov

NRU Moscow Energy Institute

Email: maslovdma@mpei.ru
Moscow

References

  1. Burgers J.M. A mathematical model illustraing the theory of turbulance // Advances in Applied Mechanics, 1, eds. R. von Mises. T. von Karman, New York: Acad. Press. 1948. P. 171–199.
  2. Pilant M.S., Rundell W. An inverse problem for a nonlinear parabolic equation // Commun. Part. Differ. Equ. 1986. V. 11. № 4. P. 445–457.
  3. Henkin G.M. Asimptotic structure for solutions of the Cauchy problem for Burgers type equations // J. Fixed Point Theory Appl. 2007. V. 1. № 2. P. 239–291.
  4. Качалов В.И., Федоров Ю.С. О методе малого параметра в нелинейной математической физике // Сиб. электрон. матем. изв. 2018. Т. 15. С. 1680–1686.
  5. Нефедов Н.Н., Руденко О.В. О движении, усилении и разрушении фронтов в уравнениях типа Бюргерса с квадратичной и модульной нелинейностью // Докл. АН. Матем., информ., проц. упр. 2020. Т. 493. С. 26–31.
  6. Волков В.Т., Нефедов Н.Н. Асимптотическое решение коэффициентных обратных задач для уравнений типа Бюргерса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 6. С. 975–984.
  7. Качалов В.И., Маслов Д.А. Аналитичность и псевдоаналитичность в методе малого параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. № 11. С. 1806–1814.
  8. Качалов В.И. Об "-регулярных решениях дифференциальных уравнений с малым параметром // Сиб. матем. журнал. 2023. Т. 64. № 1. С. 113–122.
  9. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
  10. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.
  11. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.
  12. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во МГУ, 2011.
  13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач. М.: Наука, 1973.
  14. Нефедов Н.Н. Периодические контрастные структуры в задаче реакция-диффузия с быстрой реакцией и малой диффузией // Матем. заметки. 2022. Т. 112. № 4. С. 601–612.
  15. Качалов В.И. Псевдоголоморфные и ε-псевдорегулярные решения сингулярно возмущенных задач // Дифференц. ур-ния. 2022. Т. 58. № 3. С. 361–370.
  16. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F., Kachalov V.I. Asymptotic and pseudoholomorphic solutions of singularly perturbed differential and integral equations in the Lomov’s regularization method // Axioms. 2019. V. 8. № 27. https://doi.org/10.3390/axioms8010027

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences