ON SOME APPROACHES TO DOMAIN DECOMPOSITION METHODS FOR SOLVING PARABOLIC PROBLEMS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The paper deals with a noniterative overlapping domain decomposition methods for solving multidimensional parabolic problems. The structure of the method is similar to that of a component-by-component splitting scheme using smooth unit partitioning. The method itself has been known for a long time, but a number of important technical details related to the design of partitioning a domain into subdomains that provides smooth unit partitioning have not been published previously. In this paper, these details are given as a set of provable assertions. A process for obtaining an error estimate is described, the details of which have also not been previously published.

About the authors

Yu. M Laevsky

IVM&MMG SB RAS

Email: laev@labchem.sscc.ru
Novosibirsk, Russia

References

  1. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.
  2. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
  3. Марунк Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.
  4. Лаевский Ю.М. Методы разбиения области при решении двумерных параболических уравнений // Вариационно-разностные методы в задачах числ. анализа. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1987. С. 112–128.
  5. Вабищевич П.Н. Разностные схемы декомпозиции расчетной области при решении нестационарных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. № 12. С. 1822–1829.
  6. Dryja M. Substructuring methods for parabolic problems // In: Glowinski R., Kuznetsov Y.A., Meurant G.A., Periaux J., Widlund O. (eds.), 4-th Intern. Symp. on DDM for PDE. 1991. SIAM. Philadelphia, PA. P. 264–271.
  7. Blum H., Dortmund I., Lisky S., and Ramacher R. A domain splitting algorithm for parabolic problems // Computing. 1992. V. 49. P. 11–23.
  8. Лаевский Ю.М. Об одном алгоритме декомпозиции области без налетания подобластей решения параболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. № 11. С. 1744–1755.
  9. Laevsky Yu.M. On the domain decomposition method for parabolic problems // Bull. NCC, Numer. Anal. 1993. Iss. 1. P. 41–62.
  10. Laevsky Yu.M. On the explicit-implicit domain decomposition method for parabolic problems // Bull. NCC, Numer. Anal. 1993. Iss. 2. P. 79–90.
  11. Вабищевич П.Н. Регионально-аддитивные разностные схемы стабилизирующей поправки для параболических задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 12. С. 1832–1842.
  12. Лаевский Ю.М. О декомпозиции области для параболических задач с разрывными решениями и методе штрафа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 5. С. 702–719.
  13. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Векторные аддитивные схемы декомпозиции области для параболических задач // Дифференц. ур-ния. 1995. Т. 31. № 9. С. 1563–1569.
  14. Лаевский Ю.М., Голодобов С.В. Явно-неявные методы декомпозиции области решения параболических уравнений // Сиб. матем. журнал. 1995. Т. 36. № 3. С. 590–601.
  15. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Факторизованные регионально-аддитивные схемы для задач конвекции/диффузии // Докл. АН. 1996. Т. 346. № 6. С. 742–745.
  16. Вабищевич П.Н. Разностные схемы декомпозиции области для нестационарных задач конвекции/диффузии // Дифференц. ур-ния. 1996. Т. 32. № 7. С. 923–927.
  17. Chen H, Lazarov R.D. Domain splitting algorithm for mixed finite element approximations to parabolic problems // East-West J. Numer. Math. 1996. V. 4. No. 2. P. 121–135.
  18. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Факторизованные разностные схемы декомпозиции области для задач конвекции-диффузии // Дифференц. ур-ния. 1997. Т. 33. № 7. С. 967–974.
  19. Вабищевич П.Н. Параллельные алгоритмы декомпозиции области для параболических задач // Матем. моделирование. 1997. Т. 9. № 5. С. 77–86.
  20. Mathew T.P., Polyakov P.L., Russo G., and Wang J. Domain decomposition operator splittings for the solution of parabolic equations // SIAM J. Sci. Comput. 1998. V. 19. No. 3. P. 912–932.
  21. Zhuang Y., Sun X.-H. Stabilized explicit-implicit domain decomposition methods for the numerical solution of parabolic equations // SIAM J. Sci. Comput. 2002. V. 24. No. 1. P. 335–358.
  22. Zhuang Y. An alternating explicit-implicit domain decomposition method for the parallel solution of parabolic equations // J. Comput. Appl. Math. 2007. V. 206. № 1. P. 549–566.
  23. Dryja M., Tu X. A domain decomposition discretization of parabolic problems // Numer. Math. 2007. V. 107. P. 625–640.
  24. Vabishchevich P.N. Domain decomposition methods with overlapping subdomains for the time-dependent problems of mathematical physics // Computational methods in applied mathematics. 2008. V. 8. No. 4. P. 393–405.
  25. Вабищевич П.Н. Векторные схемы декомпозиции области для параболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57. № 9. С. 1530–1547.
  26. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск: изд. “ЦОТЖ”, 1998.
  27. Лаевский Ю.М., Мацокий А.М. Методы декомпозиции решения эллиптических и параболических краевых задач // Сиб. журнал вычисл. матем. 1999. Т. 2. № 4. С. 361–372.
  28. Лаевский Ю.М. Аддитивные проекционно-сеточные методы решения многомерных параболических задач. Дис. … докт. физ.-матем. наук. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1992.
  29. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
  30. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.
  31. Лаевский Ю.М. О расщеплении в методе конечных элементов решения параболических уравнений // Проекционно-сеточные методы в задачах численного анализа. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1989. С. 109–132.
  32. Chen C.M., Thomée V. The lumped mass finite element method for a parabolic problem // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1985. V. 26. P. 329–354.
  33. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Volume 1: The Basis, Fifth Edition. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000.
  34. Fujii H. Some remarks on finite element analysis of time-dependent field problems // In: Yamada Y. and Gallagher R.H. (eds.), Theory and practice in finite element structural analysis. 1973. University of Tokyo Press. P. 91–106.
  35. Ushijima T. Error estimates for the lumped mass approximation of the heat equation // Memoirs of Numer. Math. 1979. V. 6. P. 65–82.
  36. Hackbush W. On first and second order box schemes // Computing. 1987. V. 41. P. 277–296.
  37. Богомолов К.Л., Тишкин В.Ф. Ячейки Дирихле в метрике кратчайшего пути // Матем. моделирование. 2003. T. 15. № 5. C. 71–79.
  38. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.
  39. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences