Inverse Problem of Determining the Unknown Coefficient in the Beam Vibration Equation in an Infinite Domain

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

For the equation of transverse vibrations of a homogeneous beam, we consider the direct initial value problem in an infinite domain and study the inverse problem of determining the time-dependent beam stiffness coefficient. The solution of the direct problem is given with the help of fundamental solutions, and the existence and uniqueness of this solution are proved. Stability estimates are obtained for the solution of the inverse problem. Existence and uniqueness theorems for the solution of the inverse problem are proved using Banach’s contraction mapping principle.

About the authors

U. D Durdiev

Bukhara State University, Bukhara, 200114, Uzbekistan; Bukhara Branch of Romanovskii Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences, Bukhara, Uzbekistan

Author for correspondence.
Email: umidjan93@mail.ru
г. Бухара, Узбекистан

References

  1. Strutt J., Baron Rayleigh. The Theory of Sound. London, 1877.
  2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. M., 1966.
  3. Крылов А.Н. Вибрация судов. M., 2012.
  4. Ascanelli A., Cicognani M., Colombini F. The global Cauchy problem for a vibrating beam equation // J. Differ. Equat. 2009. V. 47. P. 1440-1451.
  5. Сабитов К.Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 89-100.
  6. Сабитов К.Б. Начальная задача для уравнения колебаний балки // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 5. С. 665-671.
  7. Ватульян А.О., Васильев Л.В. Об определении параметров закрепления неоднородной балки при наличии затухания // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. T. 16. № 4. С. 449-456.
  8. Ахтямов А.М., Ильгямов М.А. Модель изгиба балки с надрезом: прямая и обратная задачи // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54. № 1. С. 152-162.
  9. Ватулян А.М., Бурьян А.Ю., Осипов А.В. Об идентификации переменной жёсткости при анализе поперечных колебаний балки // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2010. Т. 10. № 6. С. 825-833.
  10. Loktionov A.P. Inverse Cauchy problem for beams in building structures // Building and Reconstruction. 2022. V. 2. P. 13-25.
  11. Дурдиев У.Д. Обратная задача по определению неизвестного коэффициента в уравнении колебания балки // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 1. С. 37-44.
  12. Сабитов К.Б. Начально-граничные задачи для уравнения колебаний балки с учётом её вращательного движения при изгибе // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 3. P. 364-374.
  13. Сабитов К.Б., Фадеева О.В. Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консольной балки // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 25. № 1. С. 51-66.
  14. Marinov T.T., Vatsala A.S. Inverse problem for coefficient identification in the Euler-Bernoulli equation // Comput. and Math. with Appl. 2008. V. 56. P. 400-410.
  15. Artur Maciag, Anna Pawinska. Solution of the direct and inverse problems for beam // Comp. Appl. Math. 2016. V. 35. P. 187-201.
  16. Maciag A., Pawinska A. Solving direct and inverse problems of plate vibration by using the trefftz functions // J. of Theoretical and Appl. Mechanics. 2013. V. 51. № 3. P. 543-552.
  17. Guojin Tan, Jinghui Shan, Chunli Wu, Wensheng Wang. Direct and inverse problems on free vibration of cracked multiple I-section beam with different boundary conditions // Adv. in Mech. Engin. 2017. V. 9. № 11. P. 1-17.
  18. Moaveni S., Hyde R. Reconstruction of the area-moment-of-inertia of a beam using a shifting load and the end-slope data // Inverse Problems in Science and Engineering. 2016. V. 24. № 6. P. 990-1010.
  19. Jin-De Chang, Bao-Zhu Guo. Identification of variable spacial coefficients for a beam equation from boundary measurements // Automatica. 2007. V. 43. P. 732-737.
  20. Cheng-Hung Huang, Chih-Chun Shih. An inverse problem in estimating simultaneously the time-dependent applied force and moment of an Euler-Bernoulli beam // CMES. 2007. V. 21. № 3. P. 239-254.
  21. Hiroaki Katori. Inverse problems for an Euler-Bernoulli beam: identification of bending rigidity and external loads // World J. of Mechanics. 2018. V. 8. P. 192-199.
  22. Карчевский А.Л. Аналитические решения дифференциального уравнения поперечных колебаний кусочно-однородной балки в частотной области для краевых условий любого вида // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. Т. 23. № 4. С. 48-68.
  23. Доев В.С. Поперечные колебания балок. М., 2016.
  24. Baysal O., Hasanov A. Solvability of the clamped Euler-Bernoulli beam equation // Appl. Math. Lett. 2019. V. 93. P. 85-90.
  25. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М., 1984.
  26. Дурдиев Д.К., Тотиева Ж.Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения электровязкоупругости // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 3. С. 553-572.
  27. Дурдиев Д.К., Рахмонов А.А. Задача об определении двумерного ядра в системе интегродифференциальных уравнений вязкоупругой пористой среды // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. Т. 23. № 2. С. 63-80.
  28. Durdiev D., Rahmonov A. A multidimensional diffusion coefficient determination problem for the time-frectinal equation // Turkish J. of Math. 2022. V. 46. № 6. P. 2250-2263.
  29. Карчевский А.Л., Фатьянов А.Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды // Сиб. журн. вычисл. математики. 2001. Т. 4. № 3. С. 259-268.
  30. Карчевский А.Л. Определение возможности горного удара в угольном пласте // Сиб. журн. индустр. математики. 2017. Т. 20. № 4. С. 35-43.
  31. Дурдиев У.Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды от временн'ой частоты // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. C. 179-189.
  32. Дурдиев У.Д. Задача об определении коэффициента реакции в дробном уравнении диффузии // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 9. С. 1220-1229.
  33. Дурдиев У.Д. Обратная задача для системы уравнений вязкоупругости в однородных анизотропных средах // Сиб. журн. индустр. математики. 2019. Т. 22. № 4. С. 26-32.
  34. Durdiev U.D. A problem of identification of a special 2D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation // Eurasian J. of Math. and Comput. Appl. 2019. V. 7. № 2. P. 4-19.
  35. Durdiev U.D., Totieva Zh.D. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation // Math. Methods in the Appl. Sci. 2019. V. 42. № 18. P. 7440-7451.
  36. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Memory kernel reconstruction problems in the integro-differential equation of rigid heat conductor // Math. Methods in the Appl. Sci. 2022. V. 45. № 14. P. 8374-8388.
  37. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. One-dimensional inverse problems of finding the kernel of integrodifferential heat equation in a bounded domain // Ukr. Math. J. 2022. V. 73. № 11. P. 1723-1740.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences