Spectral Properties of the Operator in the Problem of Oscillations in a Mixture of Viscous Compressible Fluids

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

We study the problem of normal oscillations of a homogeneous mixture of several viscous compressible fluids that fills a bounded domain in three-dimensional space with infinitely smooth boundary. We prove that the essential spectrum of the problem is a finite set of segments located on the real axis. The remaining spectrum consists of isolated eigenvalues of finite algebraic multiplicity and is located on the real axis, with the possible exception of finitely many complex conjugate eigenvalues. The spectrum of the problem contains a subsequence of eigenvalues with a limit point at infinity and a power-law asymptotic distribution.

About the authors

D. A Zakora

Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, 295007, Russia

Author for correspondence.
Email: dmitry.zkr@gmail.com
Симферополь, Россия

References

  1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1. М., 1987.
  2. Rajagopal K.L., Tao L. Mechanics of Mixtures. Ser. Adv. Math. Appl. Sci. V. 35. River Edge, 1995.
  3. Mamontov A.E., Prokudin D.A. Viscous compressible multi-fluids: modeling and multi-D existence // Methods Appl. Anal. 2013. V. 20. № 2. P. 179-195.
  4. Frehse J., Goj S., M'alek J. A Stokes-like system for mixtures // Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics II. Intern. Math. Ser. / Eds. M.Sh. Birman, S. Hildebrandt, V.A. Solonnikov, and N.N. Uraltseva. Dordrecht, Norwell, New York, London, 2002. P. 119-136.
  5. Frehse J., Goj S., M'alek J. On power and non-power asymptotic behavior of positive solutions to Emden-Fowler type higher-order equations // SIAM J. Math. Anal. 2005. V. 36. № 4. P. 1259-1281.
  6. Frehse J., Goj S., M'alek J. A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum // Appl. Math. 2005. V. 50. P. 527-541.
  7. Мамонтов А.Е., Прокудин Д.А. Разрешимость нестационарных уравнений многокомпонентных вязких сжимаемых жидкостей // Изв. РАН. Сер. Мат. 2018. Т. 82. № 1. С. 151-197.
  8. Пал П.К., Масленникова В.Н. Спектральные свойства операторов в задаче о колебании сжимаемой жидкости во вращающихся сосудах // Докл. АН СССР. 1985. Т. 281. № 3. С. 529-534.
  9. Grubb G., Geymonat G. The essential spectrum of elliptic systems of mixed order // Math. Ann. 1977. V. 227. P. 247-276.
  10. Faierman M., Fries R.J., Mennicken R., M"oller M. On the essential spectrum of the linearized Navier-Stokes operator // Integr. Equat. Oper. Theory. 2000. V. 38. № 1. P. 9-27.
  11. Atkinson F.V., Langer H., Mennicken R., Shkalikov A.A. The essential spectrum of some matrix operators // Math. Nachr. 1994. V. 167. P. 5-20.
  12. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М., 1985.
  13. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972.
  14. Солонников В.А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Даглиса-Л. Ниренберга. II // Тр. Мат. ин-та имени В.А. Стеклова. 1966. Т. 92. С. 233-297.
  15. Mennicken R., Shkalikov A.A. Spectral decomposition of symmetric operator matrices // Math. Nachr. 1996. V. 179. P. 259-273.
  16. Азизов Т.Я., Копачевский Н.Д., Орлова Л.Д. Эволюционная и спектральная задачи, порождённые проблемой малых движений вязкоупругой жидкости // Тр. Санкт-Петербургского мат. о-ва. 1988. Т. 6. С. 5-33.
  17. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967.
  18. Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M.A. Classes of Linear Operators. V. 1. Basel; Boston; Berlin, 1990.
  19. Волевич Л.Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем // Мат. сб. 1965. Т. 68 (110). № 3. С. 373-416.
  20. Кожевников А.Н. Функциональные методы математической физики. М., 1991.
  21. Kozhevnikov A., Skubachevskaya T. Some applications of pseudo-differential operators to elasticity // Hokkaido Math. J. 1997. V. 26. № 2. P. 297-322.
  22. Ланкастер П. Теория матриц. М., 1973.
  23. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М., 1986.
  24. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анализ. 1977. Т. 14. № 11. C. 5-58.
  25. Маркус А.С., Мацаев В.И. Теорема о сравнении спектров и спектральная асимптотика для пучка М.В. Келдыша // Мат. сб. 1984. Т. 123 (165). № 3. С. 391-406.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences