On the Gröbner Basis of the Ideal of Lyapunov Quantities of the Kukles System

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The center problem and the cyclicity of singular points of the Kukles system are studied. The necessary conditions for the center at the origin are obtained as the variety of the ideal of Lyapunov quantities calculated by direct solution of the polynomial system whose left-hand sides form the Gröbner basis of the ideal. This ideal is also used to calculate the cyclicity of the centers and foci of the system. A theorem is proved that allows one to find the cyclicity of the centers of polynomial systems by using its Gröbner basis instead of the ideal of Lyapunov quantities.

About the authors

A. E Rudenok

Belarusian State University, Minsk, 220030, Belarus

Email: roudenok@bsu.by
г. Минск, Беларусь

M. N Vasilevich

Belarusian State University, Minsk, 220030, Belarus

Author for correspondence.
Email: vasilevich.m@gmail.com
г. Минск, Беларусь

References

  1. Куклес И.С. О некоторых случаях отличия фокуса от центра // Докл. АН СССР. 1944. Т. 42. № 5. С. 208-211.
  2. Gine J. Center conditions for generalized polynomial Kukles systems // Commun. Pure Appl. Anal. 2017. V. 16. № 2. P. 417-426.
  3. Lloyd N.G., Pearson J.M. Computing centre conditions for certain cubic systems // J. Comp. Appl. Math. 1992. V. 40. № 3. P. 323-336.
  4. Садовский А.П. Решение проблемы центра и фокуса для кубической системы нелинейных колебаний // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 2. С. 236-244.
  5. Садовский А.П. Кубические системы нелинейных колебаний с семью предельными циклами // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 4. С. 472-481.
  6. Pearson J.M., Lloyd N.G. Kukles revisited: advances in computing techniques // Comput. Math. Appl. 2010. V. 60. № 10. P. 2797-2805.
  7. Christopher C.I., Lloyd N.Ci. On the paper of Jin and Wang concerning the conditions for a centre in certain cubic systems // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. P. 5-12.
  8. Lloyd N.G., Pearson J.M. Conditions for a centre and the bifurcation of limit cycles in a class of cubic systems // Bifurcations of Planar Vector Fields. Lect. Notes in Math. 1990. V. 1455. P. 230-242.
  9. Садовский А.П. Полиномиальные идеалы и многообразия. Минск, 2008.
  10. Садовский А.П., Маковецкая Т.В., Чергинец Д.Н. Радикал идеала фокусных величин комплексной системы Куклеса // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2017. № 2. C. 4-11.
  11. Отроков Н.Ф. Аналитические интегралы и предельные циклы. Горький, 1972.
  12. Руденок А.Е., Шуба А.С. Базис Гребнера идеала ляпуновских величин системы Куклеса // Материалы Междунар. науч. конф. "Шестые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям". 7-10 декабря 2015 г. Минск, 2015. Ч. 1. С. 86-87.
  13. Christopher C. Estimating limit cycle bifurcations from centers // Differential Equations with Symbolic Computation. Trends in Mathematics. Birkh"auser Basel, 2005. P. 23-35.
  14. Cruz L., Romanovski V.G., Torregrosa J. The center and cyclicity problems for quartic linear-like reversible systems // Nonlin. Anal. 2020. V. 190. P. 1-19.
  15. Chicone C., Jacobs M. Bifurcation of critical periods for plane vector fields // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 312. № 2. P. 433-486.
  16. Chicone C., Jacobs M. Bifurcation of limit cycles from quadratic isochrones // J. Differ. Equat. 1991. V. 91. № 2. P. 268-326.
  17. Han M. Liapunov constants and Hopf cyclicity of Li'enard systems // Ann. Differ. Equat. 1999. V. 15. № 2. P. 113-126.
  18. Руденок А.Е. О предельных циклах двумерной автономной системы с нелинейностями третьей степени // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 5. С. 825-834.
  19. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М., 1967.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences