Cauchy Problem for the Loaded Korteweg–de Vries Equation in the Class of Periodic Functions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The inverse spectral problem method is applied to finding a solution of the Cauchy
problem for the loaded Korteweg–de Vries equation in the class of periodic infinite-gap functions.
A simple algorithm for constructing a high-order Korteweg–de Vries equation with loaded terms
and a derivation of an analog of Dubrovin’s system of differential equations are proposed. It
is shown that the sum of a uniformly convergent function series constructed by solving the
Dubrovin system of equations and the first trace formula actually satisfies the loaded nonlinear
Korteweg–de Vries equation. In addition, we prove that if the initial function is a real π-periodic
analytic function, then the solution of the Cauchy problem is a real analytic function in the
variable x as well, and also that if the number π/n, n ∈ N, n ≥ 2, is the period of the initial
function, then the number π/n is the period for solving the Cauchy problem with respect to the
variable x.

About the authors

A. B. Khasanov

Samarkand State University, Samarkand

Email: ahasanov2002@mail.ru
140104 Uzbekistan

T. G. Khasanov

Urgench State University

Author for correspondence.
Email: temur.xasanov.2018@mail.ru
Urgench, 220100 Uzbekistan

References

  1. Gardner C., Green I., Kruskal M., Miura R. A method for solving the Korteveg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1098.
  2. Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шрёдингера // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1964. Т. 73. С. 314-336.
  3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977.
  4. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М., 1984.
  5. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math. 1968. V. 21. P. 467-490.
  6. Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шрёдингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // Журн. теор. и мат. физики. 1975. Т. 23. № 1. С. 51-68.
  7. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза // Журн. эксп. и теор. физики. 1974. Т. 67. № 12. С. 2131-2143.
  8. Митропольский Ю.А., Боголюбов Н.Н. (мл.), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев, 1987.
  9. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М., 1980.
  10. Ince E.L. A proof of the impossibility of the coexistence of two Mathien functions // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1922. V. 21. P. 117-120.
  11. Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. Вып. 3. С. 41-51.
  12. Grinevich P.G., Taimanov I.A. Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the Melnikov type // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 2008. V. 224. P. 125-138.
  13. Khasanov A.B. Yakshimuratov A.B. The almost-periodicity of infinite-gap potentials of the Dirac operator // Dokl. Math. 1996. V. 54. № 2. P. 767-769.
  14. Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Обратная задача на полуоси для оператора Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 1. С. 23-33.
  15. Смирнов А.О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шрёдингера и модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза // Мат. сб. 1994. Т. 185. № 8. С. 103-114.
  16. Lax P. Almost periodic solutions of the KdF equation // SCAM Rev. 1976. V. 18. № 3. P. 351-575.
  17. Домрин А.В. Мероморфное продолжение решений солитонных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. 2010. Т. 74. № 3. С. 23-44.
  18. Нахушеев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 1. С. 86-94.
  19. Нахушеев А.М. Уравнения математической биологии. М., 1995.
  20. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2004. Т. 44. С. 694-716.
  21. Луговцов А.А. Распространение нелинейных волн в газожидкостной среде. Точные и приближённые аналитические решения волновых уравнений // Прикл. механика и техн. физика. 2010. Т. 51. № 1. С. 54-61.
  22. Луговцов А.А. Распространение нелинейных волн в неоднородной газожидкостной среде. Вывод волновых уравнений в приближении Кортевега-де Фриза // Журн. теор. и мат. физики. 2009. Т. 50. № 2. С. 188-197.
  23. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М., 1960.
  24. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2. М., 1961.
  25. Станкевич И.В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // Докл. АН СССР. 1970. Т. 192. № 1. С. 34-37.
  26. Ахиезер Н.И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов // Докл. АН СССР. 1961. Т. 141. № 2. С. 262-266.
  27. Trubowtz E. The inverse problem for periodic potentials // Comm. Pure. Appl. Math. 1977. V. 30. P. 321-337.
  28. Hochstadt H. On the determination of Hill's equation from its spectrum // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V. 19. P. 353-362.
  29. Mckean H.P., Moerbeke P. The spectrum of Hill's equation // Invent. Math. 1975. V. 30. № 3. P. 217-274.
  30. Flachka H. On the inverse problem for Hill's operator // Arch. Rational Mech. Anal. 1975. V. 59. № 4. P. 293-309.
  31. Hochstadt H. Estimates on the stability interval's for the Hill's equation // Proc. AMS. 1963. V. 14. P. 930-932.
  32. Левитан Б.М., Гусейнов Г.Ш. Вычисление главного члена асимптотики длины лакуны периодической задачи Штурма-Лиувилля // Сердика Българско математическо списание. 1977. Т. 3. С. 273-280.
  33. Hochstadt H. A generalization of Borg's inverse theorem for Hill's equations // J. Math. Anal. and Appl. 1984. V. 102. P. 599-605.
  34. Borg G. Eine umkehrung der Sturm-Liouvillschen eigenwertaufgable. Bestimmung der differentialgleichung durch die eigenwete // Acta Math. 1946. V. 78. P. 1-96.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences