On the Existence of Global Compactly Supported Weak Solutions of the Vlasov–Poisson System with an External Magnetic Field

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

We consider the first mixed problem for the Vlasov–Poisson system with an external magnetic field in a domain with piecewise smooth boundary. This problem describes the kinetics of a two-component high-temperature plasma under the influence of a self-consistent electric field and an external magnetic field. The existence of global weak solutions is proved. In the case of a cylindrical domain, sufficient conditions are obtained for the existence of global weak solutions with supports in a strictly internal cylinder; this corresponds to the confinement of high-temperature plasma in a mirror trap.

About the authors

A. L. Skubachevskiy

RUDN University, Moscow, 117198, Russia; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119991, Russia

Author for correspondence.
Email: alskubachevskii@yandex.ru

References

  1. Власов А.А. О вибрационных свойствах электронного газа // Журн. эксп. и теор. физики. 1938. Т. 8. № 3. С. 291-318.
  2. Власов А.А. Теория многих частиц. М., 1950.
  3. Ландау Л.Д. О колебаниях электронной плазмы // Журн. эксп. и теор. физики. 1946. Т. 16. С. 574-586.
  4. Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева. Вып. 11. М., 1982.
  5. Курс теоретической физики / Под ред. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшица. Т. 10. Физическая кинетика. М., 1979.
  6. Миямото К. Основы физики плазмы и управляемого синтеза. М., 2007.
  7. Alexandre R. Weak solutions of the Vlasov-Poisson initial boundary value problem // Math. Meth. Appl. Sci. 1993. V. 16. № 8. P. 587-607.
  8. Арсеньев А.А. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1975. Т. 15. № 1. С. 136-147.
  9. Арсеньев А.А. О существовании обобщённых и стационарных статистических решений системы уравнений Власова в ограниченной области // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1253-1266.
  10. Bardos C., Degond P. Global existence for the Vlasov-Poisson equation in 3 space variables with small initial data // Ann. Inst. H. Poincar'e, Anal. Non Lin'eare. 1985. V. 2. № 2. P. 101-118.
  11. Batt J. Global symmetric solutions of the initial value problem of stellar dynamics // J. Differ. Equat. 1977. V. 25. № 3. P. 342-364.
  12. Ben Abdallah N. Weak solutions of the initial-boundary value problem for the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1994. V. 17. № 6. P. 451-476.
  13. Di Perna R.J., Lions P.L. Solutions globales d''equations du type Vlasov-Poisson // C. R. Acad. Sci. Paris. S'er. I Math. 1988. V. 307. № 12. P. 655-658.
  14. Добрушин Р.Л. Уравнения Власова // Функц. анализ и его прилож. 1979. Т. 13. № 2. С. 48-58.
  15. Guo Y. Regularity for the Vlasov equations in a half space // Indiana Univ. Math. J. 1994. V. 43. № 1. P. 255-320.
  16. Horst E., Hunze R. Weak solutions of the initial value problem for the unmodified nonlinear Vlasov equation // Math. Meth. Appl. Sci. 1984. V. 6. № 1. P. 262-279.
  17. Hwang H.J., Vel'azquez J.J.L. On global existence for the Vlasov-Poisson system in a half space // J. Differ. Equat. 2009. V. 247. № 6. P. 1915-1948.
  18. Козлов В.В. Обобщённое кинетическое уравнение Власова // Успехи мат. наук. 2008. Т. 63. № 4. С. 93-130.
  19. Lions P.L., Perthame B. Propagation of moments and regularity for the 3-dimensional Vlasov-Poisson system // Invent. Math. 1991. V. 105. № 1. P. 415-430.
  20. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // Соврем. проблемы математики. М., 1978. Т. 11. С. 153-234.
  21. Mouhot C., Villani C. On Landau damping // Acta Math. 2011. V. 207. № 1. P. 29-201.
  22. Pfaffelmoser K. Global classical solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions for general initial data // J. of Differ. Equat. 1992. V. 95. № 2. P. 281-303.
  23. Sch"affer J. Global existence of smooth solutions to the Vlasov-Poisson system in three dimensions // Comm. Part. Differ. Equat. 1991. V. 16. № 8-9. P. 1313-1335.
  24. Weckler J. Zum Anfangs-Randwertproblem des Vlasov-Poisson-Systems. Dissertation, Universit"at M"unchen, 1994.
  25. Weckler J. On the initial-boundary-value problem for the Vlasov-Poisson system: existence of weak solutions and stability // Ach. Rational Mech. Anal. 1995. V. 130. № 2. P. 145-161.
  26. Скубачевский А.Л. Об однозначной разрешимости смешанных задач для системы уравнений Власова-Пуассона в полупространстве // Докл. АН СССР. 2012. Т. 443. № 4. С. 431-434.
  27. Скубачевский А.Л. Смешанные задачи для уравнений Власова-Пуассона в полупространстве // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 2013. Т. 283. С. 204-232.
  28. Skubachevskii A.L. Nonlocal elliptic problems in infinite cylinder and applications // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Ser. S. 2016. V. 9. № 3. P. 847-868.
  29. Скубачевский А.Л., Tsuzuki Y. Классические решения уравнений Власова-Пуассона с внешним магнитным полем в полупространстве // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2017. Т. 57. № 3. С. 536-552.
  30. Беляева Ю.О., Скубачевский А.Л. Об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2018. Т. 477. С. 12-34.
  31. Belyaeva Yu.O., Gebhard B., Skubachevskii A.L. A general way to confined stationary Vlasov-Poisson plasma configurations // Kinetic and Related Models. 2021. V. 14. № 2. P. 257-282.
  32. Скубачевский А.Л. Априорная оценка решений смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона с однородным внешним магнитным полем // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 12. С. 1683-1687.
  33. Gr"uter M., Widmann K.-O. The Green function for uniformly elliptic equations // Manuscripta Mathematica. 1982. V. 37. P. 303-342.
  34. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М., 1989.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences