Approximation to the Sturm–Liouville Problem with a Discontinuous Nonlinearity

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider a continuous approximation to the Sturm–Liouville problem with a nonlinearity discontinuous in the phase variable. The approximating problem is obtained from the original one by small perturbations of the spectral parameter and by approximating the nonlinearity by Carathéodory functions. The variational method is used to prove the theorem on the proximity of solutions of the approximating and original problems. The resulting theorem is applied to the one-dimensional Gol’dshtik and Lavrent’ev models of separated flows

About the authors

D. K. Potapov

St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034, Russia

Author for correspondence.
Email: d.potapov@spbu.ru
Санкт-Петербург, Россия

References

  1. Красносельский М.А., Покровский А.В. Уравнения с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248. № 5. C. 1056-1059.
  2. Павленко В.Н., Искаков Р.С. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полулинейных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51. № 2. С. 224-233.
  3. Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Аппроксимация резонансных краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46. № 1. С. 139-148.
  4. Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Правильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями // Алгебра и анализ. 2005. Т. 17. № 3. С. 124-138.
  5. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Изв. вузов. Математика. 2005. № 4. С. 49-55.
  6. Потапов Д.К. Устойчивость основных краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью в коэрцитивном случае // Изв. РАЕН. Сер. МММИУ. 2005. Т. 9. № 1-2. С. 159-165.
  7. Потапов Д.К. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 7. С. 1002-1003.
  8. Потапов Д.К. Аппроксимация однопараметрического семейства задач Дирихле для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями в резонансном случае // Мат. заметки. 2011. Т. 90. Вып. 3. С. 467-469.
  9. Вайнштейн И.И., Юровский В.К. Об одной задаче сопряжения вихревых течений идеальной жидкости // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1976. № 5. C. 98-100.
  10. Потапов Д.К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика // Мат. заметки. 2010. Т. 87. Вып. 2. С. 262-266.
  11. Потапов Д.К. Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости // Сиб. журн. вычислит. математики. 2011. Т. 14. № 3. С. 291-296.
  12. Carl S., Heikkila S. On the existence of minimal and maximal solutions of discontinuous functional Sturm-Liouville boundary value problems // J. Inequal. Appl. 2005. № 4. P. 403-412.
  13. Bonanno G., Bisci G.M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous nonlinearities // Bound. Value Probl. 2009. Art. 670675.
  14. Bonanno G., Buccellato S.M. Two point boundary value problems for the Sturm-Liouville equation with highly discontinuous nonlinearities // Taiwanese J. Math. 2010. V. 14. № 5. P. 2059-2072.
  15. Потапов Д.К. Задача Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 9. С. 1284-1286.
  16. Потапов Д.К. Существование решений, оценки дифференциального оператора и "разделяющее" множество в краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка с разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 970-974.
  17. Bonanno G., D'Agui G., Winkert P. Sturm-Liouville equations involving discontinuous nonlinearities // Minimax Theory Appl. 2016. V. 1. № 1. P. 125-143.
  18. Павленко В.Н., Постникова Е.Ю. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения с разрывной нелинейностью // Челябинский физ.-мат. журн. 2019. Т. 4. Вып. 2. С. 142-154.
  19. Нижник И.Л., Краснеева А.А. Периодические решения дифференциальных уравнений второго порядка с разрывной нелинейностью // Нелин. колебания. 2012. Т. 15. № 3. С. 381-389.
  20. Jacquemard A., Teixeira M.A. Periodic solutions of a class of non-autonomous second order differential equations with discontinuous right-hand side // Phys. D: Nonlin. Phenom. 2012. V. 241. № 22. P. 2003-2009.
  21. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Solution to second-order differential equations with discontinuous right-hand side // Electron. J. Differ. Equat. 2014. № 221. P. 1-6.
  22. Llibre J., Teixeira M.A. Periodic solutions of discontinuous second order differential systems // J. Singularities. 2014. V. 10. P. 183-190.
  23. Самойленко А.М., Нижник И.Л. Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью // Укр. мат. журн. 2015. Т. 67. № 4. С. 517-554.
  24. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Non-existence of periodic solutions to non-autonomous second-order differential equation with discontinuous nonlinearity // Electron. J. Differ. Equat. 2016. № 4. P. 1-8.
  25. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of solutions for second-order differential equations with discontinuous right-hand side // Electron. J. Differ. Equat. 2016. № 124. P. 1-9.
  26. Bensid S., Diaz J.I. Stability results for discontinuous nonlinear elliptic and parabolic problems with a S-shaped bifurcation branch of stationary solutions // Disc. Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2017. V. 22. № 5. P. 1757-1778.
  27. Da Silva C.E.L., da Silva P.R., Jacquemard A. Sliding solutions of second-order differential equations with discontinuous right-hand side // Math. Meth. Appl. Sci. 2017. V. 40. № 14. P. 5295-5306.
  28. Da Silva C.E.L., Jacquemard A., Teixeira M.A. Periodic solutions of a class of non-autonomous discontinuous second-order differential equations // J. Dyn. Contr. Syst. 2020. V. 26. № 1. P. 17-44.
  29. Павленко В.Н., Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Математика. 2001. № 5. С. 43-58.
  30. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. № 4. С. 911-919.
  31. Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Lavrent'ev problem for separated flows with an external perturbation // Electron. J. Differ. Equat. 2013. № 255. P. 1-6.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences