Classical Solution of the Second Mixed Problem for the Telegraph Equation with a Nonlinear Potential

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

For the telegraph equation with a nonlinear potential, we consider a mixed problem in the first quadrant in which the Cauchy conditions are specified on the spatial semiaxis and the Neumann condition is set on the temporal semiaxis. The solution is constructed by the method of characteristics in an implicit analytical form as a solution of some integral equations. The solvability of these equations is studied, as well as the dependence of the solutions on the smoothness of the initial data. For the problem under consideration, the uniqueness of the solution is proved and conditions are established under which a classical solution exists. If the matching conditions are not met, then a problem with conjugation conditions is constructed, and if the data is not smooth enough, then a mild solution is constructed.

About the authors

V. I. Korzyuk

Institute of Mathematics of the NAS of Belarus; Belarusian State University

Email: korzyuk@bsu.by
Belarus, Minsk; Belarus, Minsk

Ya. V. Rud'ko

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072, Belarus

Author for correspondence.
Email: janycz@yahoo.com

References

  1. Физическая энциклопедия: в 5 т. / Гл. ред. А.М. Прохоров. М., 1992. Т. 3.
  2. Nonlinear system. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear_system. Дата доступа: 31 мая 2023.
  3. Nonlinear partial differential equation. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear_partial_ differential_equation. Дата доступа: 31 мая 2023.
  4. Корзюк В.И., Рудько Я.В. Классическое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 2. С. 174-184.
  5. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. New York, 2012.
  6. Lebwohl P., Stephen M.J. Properties of vortex lines in superconducting barriers // Phys. Rev. 1967. V. 163. № 2. P. 376-379.
  7. Nakayama Y. Liouville field theory: a decade after the revolution // Int. J. of Modern Phys. A. 2004. V. 19. № 17-18. P. 2771-2930.
  8. Bereanu C. Periodic solutions of the nonlinear telegraph equations with bounded nonlinearities // J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 343. P. 758-762.
  9. Kim W.S. Boundary value problem for nonlinear telegraph equations with superlinear growth // Nonlin. Anal.: Theory, Methods & Appl. 1998. V. 12. № 12. P. 1371-1376.
  10. Fucik S., Mawhin J. Generalized periodic solutions of nonlinear telegraph equations // Nonlin. Anal.: Theory, Methods & Appl. 1978. V. 2. № 5. P. 609-617.
  11. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле // Изв. вузов. Математика. 2007. № 2. С. 46-55.
  12. Рудаков И.А. Нетривиальное периодическое решение нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Дифференц. уравнения. 2005. T. 41. № 10. С. 1392-1399.
  13. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Фунд. и прикл. математика. 2006. T. 12. № 5. С. 189-201.
  14. Плотников П.И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Мат. сб. 1988. Т. 178. № 4. С. 546-560.
  15. Evans L.C. Partial Differential Equations. Providence, 2010.
  16. J"orgens K. Das Anfangswertproblem in Grossen f"ur eine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen // Math. Zeitschr. 1961. Bd. 208. S. 295-308.
  17. Shibata Y., Tsutsumi Y. Global existence theorem for nonlinear wave equation in exterior domain // Proc. Japan Acad. Ser. A. 1984. V. 60. P. 14-17.
  18. Lions J.L., Strauss W.A. Some non-linear evolution equations // Bull. de la Soci'et'e Math'ematique de France. 1965. V. 93. P. 43-96.
  19. Gallagher I., G'erard P. Profile decomposition for the wave equation outside a convex obstacle // J. de Math'ematiques Pures et Appliqu'ees. 2001. V. 80. № 1. P. 1-49.
  20. Ikehata R. Two dimensional exterior mixed problem for semilinear damped wave equations // J. Math. Anal. Appl. 2005. V. 301. № 2. P. 366-377.
  21. Ikehata R. Global existence of solutions for semilinear damped wave equation in 2-D exterior domain // J. Differ. Equat. 2004. V. 200. № 1. P. 53-68.
  22. Лавренюк С.П., Пукач П.Я. Мiшана задача для нелiнiйного гiперболiчного рiвняння в необмеженiй за просторовими змiнними областi // Укра"iнський мат. журн. 2007. Т. 59. № 11. С. 1523-1531.
  23. Джохадзе О.М. Смешанная задача с нелинейным граничным условием для полулинейного уравнения колебания струны // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 5. С. 591-606.
  24. Корзюк В.И., Рудько Я.В. Классическое и слабое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2023. Т. 43. C. 48-63.
  25. Корзюк В.И., Рудько Я.В. Классическое решение задачи Коши для одномерного квазилинейного волнового уравнения // Докл. НАН Беларуси. 2023. Т. 67. № 1. C. 14-19.
  26. Kharibegashvili S., Jokhadze O. The second Darboux problem for the wave equation with integral nonlinearity // Trans. of A. Razmadze Math. Inst. 2016. V. 170. № 3. P. 385-394.
  27. Берикелашвили Г.К., Джохадзе О.М., Мидодашвили Б.Г., Харибегашвили С.С. О существовании и отсутствии глобальных решений первой задачи Дарбу для нелинейных волновых уравнений // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 3. С. 359-372.
  28. Jokhadze O. On existence and nonexistence of global solutions of Cauchy-Goursat problem for nonlinear wave equations // J. of Math. Anal. and Appl. 2008. V. 340. № 2. P. 1033-1045.
  29. Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. Вторая задача Дарбу для волнового уравнения со степенной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 12. С. 1623-1640.
  30. Ломовцев Ф.Е. Вторая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости // Веснiк Гродзенскага дзярж. ўн-та iмя Янкi Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. 2022. T. 12. № 3. C. 50-70.
  31. Корзюк В.И., Рудько Я.В. Метод отражений для уравнения Клейна-Гордона // Докл. НАН Беларуси. 2022. T. 66. № 3. C. 263-268.
  32. Корзюк В.И., Козловская И.С., Соколович В.Ю., Сериков В.П. Решение произвольной гладкости одномерного волнового уравнения для задачи со смешанными условиями // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2021. T. 57. № 3. C. 286-295.
  33. Корзюк В.И., Наумовец С.Н., Севастюк В.А. О классическом решении второй смешанной задачи для одномерного волнового уравнения // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2018. Т. 26. № 1. C. 35-42.
  34. Корзюк В.И., Козловская И.С. Классические решения задач для гиперболических уравнений. Ч. 2. Минск, 2017.
  35. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М., 2004.
  36. Korzyuk V.I., Rudzko J.V. Classical solution of the initial-value problem for a one-dimensional quasilinear wave equation // XX междунар. науч. конф. по дифференц. уравнениям (Еругинские чтения-2022). Новополоцк, 2022. Ч. 2. С. 38-39.
  37. Cain G.L. Jr., Nashed M.Z. Fixed points and stability for a sum of two operators in locally convex spaces // Pacific J. of Math. 1971. V. 39. № 3. P. 581-592.
  38. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 2002.
  39. Mitrinovi'c} D.S., Pevc}ari'c} J.E., Fink A.M. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives. Dordrecht, 1991.
  40. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М., 1956.
  41. Korzyuk V.I., Rudzko J.V. Curvilinear parallelogram identity and mean-value property for a semilinear hyperbolic equation of second-order // arXiv:2204.09408.
  42. Корзюк В.И., Столярчук И.И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2017. T. 53. № 1. C. 77-88.
  43. Корзюк В.И., Столярчук И.И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна-Гордона-Фока с неоднородными условиями согласования // Докл. НАН Беларуси. 2019. Т. 63. № 1. C. 7-13.
  44. Корзюк В.И., Козловская И.С., Наумовец С.Н. Классическое решение первой смешанной задачи одномерного волнового уравнения с условиями типа Коши // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2015. № 1. C. 7-21.
  45. Корзюк В.И., Наумовец С.Н., Сериков В.П. Смешанная задача для одномерного волнового уравнения с условиями сопряжения и производными второго порядка в граничных условиях // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2020. Т. 56. № 3. C. 287-297.
  46. Моисеев Е.И., Корзюк В.И., Козловская И.С. Классическое решение задачи с интегральным условием для одномерного волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2014. T. 50. № 10. C. 1373-1385.
  47. Ikeda M., Inui T., Wakasugi Y. The Cauchy problem for the nonlinear damped wave equation with slowly decaying data // Nonlin. Differ. Equat. Appl. 2017. V. 50. № 2. Art. 10.
  48. Iwamiya T. Global existence of mild solutions to semilinear differential equations in Banach spaces // Hiroshima Math. J. 1986. V. 50. P. 499-530.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences