Existence and Stability of Solutions with Internal Transition Layer for the Reaction–Diffusion–Advection Equation with a KPZ-Nonlinearity

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

We study a boundary value problem for a quasilinear reaction–diffusion–advection ordinary differential equation with a KPZ-nonlinearity containing the squared gradient of the unknown function. The noncritical and critical cases of existence of an internal transition layer are considered. An asymptotic approximation to the solution is constructed, and the asymptotics of the transition layer point is determined. Existence theorems are proved using the asymptotic method of differential inequalities, the Lyapunov asymptotic stability of solutions is proved by the narrowing barrier method, and instability theorems are proved with the use of unordered upper and lower solutions.

About the authors

N. N Nefedov

Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russia

Email: nefedov@phys.msu.ru
Москва, Россия

A. O Orlov

Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russia

Author for correspondence.
Email: orlov.andrey@physics.msu.ru
Москва, Россия

References

  1. Васильева А.Б., Давыдова М.А. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущённых уравнений второго порядка // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1998. Т. 38. № 6. С. 938-947.
  2. Давыдова М.А. Решение типа всплеска и критический случай ступеньки для сингулярно возмущённого уравнения второго порядка // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1998. Т. 39. № 8. С. 1305-1316.
  3. Nefedov N.N., Nikulin E.I., Recke L. On the existence and asymptotic stability of periodic contrast structures in quasilinear reaction-advection-diffusion equations // Russ. J. of Math. Phys. 2019. V. 26. № 1. P. 55-69.
  4. Нефедов Н.Н., Никулин Е.И. Существование и асимптотическая устойчивость периодического решения с внутренним переходным слоем в задаче со слабой линейной адвекцией // Моделирование и анализ информ. систем. 2018. Т. 25. № 1. С. 125-132.
  5. Нефедов Н.Н., Никулин Е.И. Существование и асимптотическая устойчивость периодических двумерных контрастных структур в задаче со слабой линейной адвекцией // Мат. заметки. 2019. Т. 106. № 5. С. 708-722.
  6. Нефедов Н.Н. Развитие методов асимптотического анализа переходных слоев в уравнениях реакция-диффузия-адвекция: теория и применение // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2021. Т. 61. № 12. С. 2074-2094.
  7. Фэй П.Я., Мин К.Н., Давыдова М.А. Контрастные структуры в задачах для стационарного уравнения реакция-диффузия-адвекция с разрывной нелинейностью // Мат. заметки. 2018. Т. 104. № 5. С. 759-770.
  8. Nefedov N.N., Nikulin E.I., Orlov A.O. Existence of contrast structures in a problem with discontinuous reaction and advection // Russ. J. of Math. Phys. 2022. V. 29. № 2. P. 214-224.
  9. Nefedov N.N., Nikulin E.I., Orlov A.O. Contrast structures in the reaction-diffusion-advection problem in the case of a weak reaction discontinuity // Russ. J. of Math. Phys. 2022. V. 29. № 1. P. 81-90.
  10. Grimson M.J., Barker G.C. Continuum model for the spatiotemporal growth of bacterial colonies // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. № 2. P. 1680-1688.
  11. Davydova M.A., Zakharova S.A. Multidimensional thermal structures in the singularly perturbed stationary models of heat and mass transfer with a nonlinear thermal diffusion coefficient // J. of Comput. and Appl. Math. 2022. V. 400. № 1. Art. 113731.
  12. Krug J., Spohn H. Universality classes for deterministic surface growth // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. № 8. Art. 4271.
  13. Похожаев С.И. Об уравнениях вида $Delta u=f (x, u, Du)$ // Мат. сб. 1980. Т. 113. № 2. С. 324-338.
  14. Муравник А.Б. Об убывании неотрицательных решений сингулярных параболических уравнений с KPZ-нелинейностями // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2020. Т. 60. № 8. С. 1422-1427.
  15. Муравник А.Б. О качественных свойствах решений некоторых квазилинейных параболических уравнений, допускающих вырождение на бесконечности // Уфимск. мат. журн. 2018. Т. 10. № 4. С. 77-84.
  16. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., 1990.
  17. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4-82.
  18. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущённых задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 7. С. 1132-1139.
  19. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для нелинейных сингулярно возмущённых задач с контрастными структурами типа ступеньки в критическом случае // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 11. С. 1529-1537.
  20. Nefedov N.N., Nikulin E.I. Existence and stability of periodic contrast structures in the reaction-advection-diffusion problem // Russ. J. of Math. Phys. 2015. V. 22. P. 215-226.
  21. Нефедов Н.Н., Никулин Е.И. Существование и устойчивость периодических контрастных структур в задаче реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной нелинейности // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 4. С. 524-537.
  22. Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. New York; London, 1993.
  23. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений М., 1985.
  24. Нефедов Н.Н., Орлов А.О. О неустойчивых контрастных структурах в одномерных задачах реакция-диффузия-адвекция с разрывными источниками // Теор. и мат. физика. 2023. Т. 215. № 2. С. 297-310.
  25. Lopez-Gomez J. The strong maximum principle. Mathematical analysis on the self-organization and self-similarity // CR Acad. Sci. Paris. 1990. V. 310. P. 49-52.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences