SOLUTION OF A BOUNDARY PROBLEM FOR AN ELLIPTIC EQUATION WITH A SMALL NONINTEGER ORDER DEGENERACY

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider a Dirichlet boundary problem for an elliptic type equation with a non-regular degeneracy of noninteger order in a rectangle. The coefficients of the differential operator are supposed to be analytic. We build a formal solution by using the method for spectral separation of the singularities. The solution is series where its non-analytic dependency on ???? near point ???? = 0 is written explicitly. We proof the convergence of the series to the classical solution using the Green’s function method.

About the authors

D. P Emel’yanov

Lomonosov Moscow State University

Email: emelianov@cs.msu.ru
Russia

References

  1. Ломов, И.С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных уравнений / И.С. Ломов // Дифференц. уравнения. — 1993. — Т. 29, № 12. — С. 2079–2089.
  2. Ломов, И.С. Метод спектрального разделения переменных для нерегулярно вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов / И.С. Ломов // Докл. РАН. — 2001. — Т. 376, № 5. — С. 593–596.
  3. Ломов, И.С. Основы математической теории пограничного слоя / И.С. Ломов, С.А. Ломов. М. : Изд-во Моск. ун-та, 2011. — 453 с.
  4. Емельянов, Д.П. Построение точных решений нерегулярно вырождающихся эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами / Д.П. Емельянов, И.С. Ломов // Дифференц. уравнения. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 45–58.
  5. Емельянов, Д.П. Использование рядов Пуассона в аналитической теории нерегулярно вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов / Д.П. Емельянов, И.С. Ломов // Дифференц. уравнения. — 2021. — Т. 57, № 5. — С. 655–672.
  6. Емельянов, Д.П. Эллиптические дифференциальные операторы с аналитическими коэффициентами и линейным вырождением / Д.П. Емельянов // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 5. — С. 607–627.
  7. Емельянов, Д.П. Эллиптические дифференциальные операторы с вырождением нецелого порядка / Д.П. Емельянов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит. математика и кибернетика. — 2023. — № 2. — С. 12–22.
  8. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырожденных уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Докл. АН СССР. — 1951. — Т. 77, № 2. — С. 181–183.
  9. Келдыш, М.В. Избранные труды. Математика / М.В. Келдыш. — М. : Наука, 1985. — 447 с.
  10. Янушаускас, А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений / А.И. Янушаускас. — Новосибирск : Наука, 1979. — 190 с.
  11. Олейник, О.А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений / О.А. Олейник // Докл. АН СССР. — 1965. — Т. 163, № 3. — С. 577–580.
  12. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. — М. : Высшая школа, 1985. — 304 с.
  13. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1988. — 149 с.
  14. Петрушко, И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа / И.М. Петрушко // Тр. ордена Ленина Мат. института им. В.А. Стеклова. Т. 103. Краевые задачи для дифференциальных уравнений. — 1968. — С. 181–200.
  15. Петрушко, И.М. О фредгольмовости некоторых краевых задач для уравнения ???? + ???????? + + ????(????, ????)???? +????(????, ????)???? +????(????, ????)???? = ???? (????, ????) в смешанной области / И.М. Петрушко // Дифференц. уравнения. — 1968. — Т. 4, № 1. — С. 123–135.
  16. Ивакин, В.М. Видоизменённая задача Дирихле для вырождающихся на границе эллиптических уравнений и систем / В.М. Ивакин // Аналитические методы в теории эллиптических уравнений. — Новосибирск : Наука, 1982. — С. 12–21.
  17. Фурсиков, А.В. О глобальной гладкости решений одного класса вырождающихся эллиптических уравнений / А.В. Фурсиков // Успехи мат. наук. — 1971. — Т. 26, № 5. — С. 227–228.
  18. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон ; пер. с англ. Б.М. Левитана. — М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1958. — 474 с.
  19. Lomov, I.S., Small denominators in analitic theory of degenerate differential equations, Differ. Equat., 1993, vol. 29, no. 12, pp. 1811–1820.
  20. Lomov, I.S., Method of spectral separation of variables for irregularly degenerating elliptic differential operators, Dokl. RAN, 2001, vol. 376, no. 5, pp. 593–596.
  21. Lomov, I.S. and Lomov, S.A., Osnovy matematicheskoy teorii pogranichnogo sloya (Fundamentals of the Mathematical Theory of a Boundary Layer), Moscow: MSU Press, 2011.
  22. Emel’yanov, D.P. and Lomov, I.S., Construction of exact solutions of irregularly degenerate elliptic equations with analytic coefficients, Differ. Equat., 2019, vol. 55, no. 1, pp. 46–59.
  23. Emel’yanov, D.P. and Lomov, I.S., Using poisson series in the analytic theory of irregularly degenerate elliptic differential operators, Differ. Equat., 2021, vol. 57, no. 5, pp. 636–653.
  24. Emel’yanov, D.P., Elliptic differential operators with analytic coefficients and linear degeneracy, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 5, pp. 610–630.
  25. Emel’yanov, D.P., Elliptic differential operators with noninteger order degeneration, Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics, 2023, vol. 47, no. 2, pp. 71–81.
  26. Keldysh, M.V., On some cases of equations of elliptic type degenerate on the boundary of a domain, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1951, vol. 77, no. 2, pp. 181–183.
  27. Keldysh, M.V., Izbrannye trudy. Matematika (Selected Works. Mathematics), Moscow: Nauka, 1985.
  28. Yanushauskas, A.I., Analiticheskaya teoriya ellipticheskikh uravnenii (Analytic Theory of Elliptic Equations), Novosibirsk: Nauka, 1979.
  29. Oleinik, O.A., On the smoothness of solutions of degenerate elliptic and parabolic equations, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1965, vol. 163, no. 3, pp. 577–580.
  30. Smirnov, M.M., Uravneniya smeshannogo tipa (Mixed Type Equations), Moscow: Vyssh. Shkola, 1985.
  31. Moiseev, E.I., Uravneniya smeshannogo tipa so spektral’nym parametrom (Mixed Type Equations with Spectral Parameter), Moscow: MSU Press, 1988.
  32. Petrushko, I.M., Boundary value problems for equations of mixed type, Tr. Mat. Inst. im. V.A. Steklova, 1968, vol. 103, pp. 181–200.
  33. Petrushko, I.M., On the Fredholm property of some boundary value problems for the equation ???? + ???????? + + ????(????, ????)???? +????(????, ????)???? +????(????, ????)???? = ???? (????, ???? in a mixed domain, Differ. Uravn., 1968, vol. 4, no. 1, pp. 123–135.
  34. Ivakin, V.M., A modified Dirichlet problem for elliptic equations and systems degenerate on the boundary, in Analiticheskiye metody v teorii ellipticheskikh uravneniy (Analytical Methods in the Theory of Elliptic Equations), Novosibirsk: Nauka, 1982, pp. 12–21.
  35. Fursikov, A.V., The global smoothness of the solutions of a class of degenerating elliptic equations, Uspekhi Mat. Nauk, 1971, vol. 26, no. 5, pp. 227–228.
  36. Coddington, E.A. and Levinson, N., Theory of Ordinary Differential Equations, New York; Toronto; London: McGraw-Hill, 1955.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences