ASYMPTOTICS OF THE SPECTRUM FOR A FOURTH-ORDER DIFFERENTIAL OPERATOR WITH A SPECTRAL PARAMETER IN TWO BOUNDARY CONDITIONS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the spectral problem a the fourth-order differential operator on a unit interval. In this case, two boundary conditions contain a spectral parameter. We assume that the coefficient of the differential expression is an absolutely continuous function. The main result is devoted to the sharp eigenvalue asymptotics at high energy. In addition, we obtain this result in the case of a smooth coefficient. This asymptotics shows an additional nonstandard effect, which is caused by the presence of a spectral parameter in the boundary conditions.

About the authors

D. M. Polyakov

Southern Mathematical Institute of Vladikavkaz Scientific Center of RAS

Email: dmitrypolyakow@mail.ru
Vladikavkaz, Russia

References

  1. Roseau, M. Vibrations in Mechanical Systems. Analytical Methods and Applications / M. Roseau. — Berlin ; New York : Springer-Verlag, 1987. — 529 p.
  2. Шкаликов, А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях / А.А. Шкаликов // Тр. семинара имени И.Г. Петровского. — 1983. — Т. 9. — С. 140–179.
  3. Tretter, C. Boundary eigenvalue problems for differential equations = with -polynomial boundary conditions / C. Tretter // J. Differ. Equat. — 2001. — V. 170. — P. 408–471.
  4. Керимов, Н.Б. О базисности системы собственных функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии / Н.Б. Керимов, З.С. Алиев // Дифференц. уравнения. — 2007. — Т. 43, № 7. — С. 886–895.
  5. Алиев, З.С. Базисные свойства в пространстве систем корневых функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии / З.С. Алиев // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 764–775.
  6. Mo¨ller, M. Spectral asymptotics of self-adjoint fourth order differential operators with eigenvalue parameter dependent boundary conditions / M. Mo¨ller, B. Zinsou // Complex Anal. Oper. Theory. — 2012. — V. 6. — P. 799–818.
  7. Mo¨ller, M. Asymptotics of the eigenvalues of self-adjoint fourth order differential operators with separated eigenvalue parameter dependent boundary conditions / M. Mo¨ller, B. Zinsou // Rocky Mountain J. Math. — 2017. — V. 47, № 6. — P. 2013–2042.
  8. Бен Амара, Ж. Об одной задаче четвертого порядка со спектральным и физическим параметрами в граничном условии / Ж. Бен Амара, А.А. Владимиров // Изв. РАН. Сер. матем. — 2004. — Т. 68, № 4. — С. 3–18.
  9. Бен Амара, Ж. Об осцилляции собственных функций задачи четвертого порядка со спектральным параметром в граничном условии / Ж. Бен Амара, А.А. Владимиров // Фунд. и прикл. математика. — 2006. — Т. 12, № 4. — С. 41–52.
  10. Владимиров, А.А. О сходимости последовательностей обыкновенных дифференциальных операторов / А.А. Владимиров // Мат. заметки. — 2004. — Т. 75, № 6. — С. 941–943.
  11. Бен Амара, Ж. Спектральные свойства одного линейного пучка дифференциальных операторов четвёртого порядка / Ж. Бен Амара, А.А. Владимиров, А.А. Шкаликов // Мат. заметки. — 2013. — Т. 94, № 1. — С. 55–67.
  12. Владимиров, А.А. Осцилляционные свойства самосопряжённых граничных задач четвертого порядка / А.А. Владимиров, А.А. Шкаликов // Алгебра и анализ. — 2023. — Т. 35, № 1. — С. 109–133.
  13. Gao, C. Eigenvalues of a linear fourth-order differential operator with squared spectral parameter in a boundary condition / C. Gao, X. Li, R. Ma // Mediter. J. Math. — 2018. — V. 15. — Art. 107.
  14. Aliyev, Z.S. Spectral properties of a fourth-order eigenvalue problem with spectral parameter in the boundary conditions / Z.S. Aliyev, F.M. Namazov // Electron. J. Differ. Equat. — 2017. — № 307. — P. 1–11.
  15. Aliyev, Z.S. On the spectral problem arising in the mathematical model of bending vibrations of a homogeneous rod / Z.S. Aliyev, F.M. Namazov // Complex Anal. Oper. Theory. — 2019. — V. 13. — P. 3675–3693.
  16. Polyakov, D.M. Spectral asymptotics and a trace formula for a fourth-order differential operator corresponding to thin film equation / D.M. Polyakov // Monatsh. Math. — 2023. — V. 202. — P. 171–212.
  17. Badanin, A. Inverse problems and sharp eigenvalue asymptotics for Euler–Bernoulli operators / A. Badanin, E. Korotyaev // Inverse Problems. — 2015. — V. 31, № 5. — Art. 055004.
  18. Polyakov, D.M. Eigenvalue asymptotics and a trace formula for a fourth-order differential operator / D.M. Polyakov // Complex Anal. Oper. Theory. — 2023. — V. 17, № 8. — Art. 121.
  19. Поляков, Д.М. Спектральные свойства двучленного оператора четвертого порядка со спектральным параметром в граничном условии / Д.М. Поляков // Сиб. мат. журн. — 2023. — Т. 64, № 3. — С. 611–634.
  20. Polyakov, D.M. Asymptotics of the eigenvalues of a two-term fourth-order operator with boundary conditions dependent on the spectral parameter / D.M. Polyakov // Bol. Soc. Mat. Mex. — 2024. — V. 30. — Art. 25.
  21. Polyakov, D.M. Eigenvalue asymptotics of a fourth-order differential operator with spectral parameter in the boundary conditions / D.M. Polyakov // Electron. J. Differ. Equat. — 2024. — № 62. — P. 1–30.
  22. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. — М. : Наука, 1969. — 528 с.
  23. Badanin, A. Third-order operators with three-point conditions associated with Boussinesq’s equation / A. Badanin, E.L. Korotyaev // Appl. Anal. — 2021. — V. 100, № 3. — P. 527–560.
  24. Федорюк, М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений / М.В. Федорюк. — М. : УРСС, 2009. — 352 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences