Regularity of the Pressure Function for Weak Solutions of the Nonstationary Navier–Stokes Equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

We study the nonstationary system of Navier–Stokes equations for an incompressible fluid. Based on a regularized problem that takes into account the relaxation of the velocity field into a solenoidal field, the existence of a pressure function almost everywhere in the domain under consideration for solutions in the Hopf class is substantiated. Using the proposed regularization, we prove the existence of more regular weak solutions of the original problem without smallness restrictions on the original data. A uniqueness theorem is proven in the two-dimensional case

About the authors

E. V. Amosova

Institute of Applied Mathematics, Far East Branch, Russian Academy of Sciences, Vladivostok, 690041, Russia; Far Eastern Federal University, Vladivostok, 690090, Russia

Author for correspondence.
Email: el_amosova@mail.ru
Владивосток, Россия

References

  1. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М., 1981.
  2. Смагулов Ш. Об одном нелинейном уравнении с малым параметром, аппроксимирующем уравнение Навье-Стокса // Тр. V Всесоюз. семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, 1975. Т. 1. С. 123-134.
  3. Волков П.К., Переверзев А.В. Метод конечных элементов для решения краевых задач регуляризованных уравнений несжимаемой жидкости в переменных "скорости-давление" // Мат. моделирование. 2003. Т. 15. № 3. С. 15-28.
  4. Fedoseyev A.I., Alexeev B.V. Simulation of viscous flows with boundary layers within multiscale model using generalized hydrodynamics equations // Intern. Conf. on Comput. Sci. ICCS. 2010.
  5. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe fur die Hydrodynamischen Grandgleichungen // Math. Nachr. 1951. V. 4. P. 213-231.
  6. Ладыженская О.А. Решение "в целом" краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в случае двух пространственных переменных // Докл. АН СССР. 1958. Т. 123. № 3. С. 427-429.
  7. Киселёв А.А., Ладыженская О.А. О существовании единственности решений нестационарной задачи для вязкой несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. Т. 21. С. 655-680.
  8. Лионс Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.
  9. Galdi G.P. An Introduction to the Navier-Stokes Initial-Boundary Value Problem // Fundamental Directions in Mathematical Fluid Mechanics. Advances in Mathematical Fluid Mechanics / Eds. G.P. Galdi, J.G. Heywood, R. Rannacher. Basel, 2000.
  10. Sohr H., Wahl W. On the regularity of the pressure of weak solutions of Navier-Stokes equations // Archiv der Mathematik. 1986. Bd. 46. S. 428-439.
  11. Simon J. On the existence of the pressure for solutions of the variational Navier-Stokes equations // J. of Math. Fluid Mech. 1999. V. 1. № 3. P. 225-234.
  12. Langa J.A., Real J., Simon J. Existence and Regularity of the Pressure for the Stochastic Navier-Stokes Equations // Appl. Math. Optim. 2003. V. 48. P. 195-210.
  13. Bensoussan A. Stochastic Navier-Stokes equations // Acta Appl. Math. 1995. V. 38. № 3. P. 267-304.
  14. Capinski M., Peszat S. On the existence of solution to stochastic Navier-Stokes equations // Nonlin. Anal. 2001. V. 44. P. 141-177.
  15. Серёгин Г.А. О локальной регулярности подходящих слабых решений уравнений Навье-Стокса // Успехи мат. наук. 2007. Т. 62. № 3 (375). C. 149-168.
  16. Серёгин Г.А. Дифференциальные свойства слабых решений уравнений Навье-Стокса // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14. № 1. C. 194-237.
  17. Шилкин Т.Н. Полная внутренняя регулярность решений двумерной модифицированной системы Навье-Стокса // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. № 1. C. 182-221.
  18. Серёгин Г.А., Шилкин Т.Н.. Теоремы лиувиллевского типа для уравнений Навье-Стокса // Успехи мат. наук. 2018. Т. 73. № 4 (442). C. 103-170.
  19. Амосова Е.В. О регулярности решений нестационарных уравнений Навье-Стокса // Мат. проблемы механики сплошных сред: тез. докл. Всерос. конф. и школы молодых учёных, посвящ. 100-летию акад. Л.В. Овсянникова. Новосибирск. 2019. С. 27.
  20. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.
  21. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск, 1983.
  22. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М., 1962.
  23. Лукина Е.В. Глобальные решения многомерных приближённых уравнений Навье-Стокса вязкого газа // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. С. 299-401.
  24. Fursikov A., Gunzburger M., Hou L. Trace theorems for three-dimensional, time-dependent solenoidal vector fields and their applications // Trans. of the Amer. Math. Soc. 2001. V. 354. № 3. P. 1079-1116.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

统计

观看

摘要: 2041

Dimensions

文章指标

指标登陆中 ...

PlumX


Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences