The Problem of Two-Dimensional String Vibrations with a Nonlinear Condition

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

We study a model of small spatial transverse vibrations of a string where the deviation of any of its points from the equilibrium is characterized by two coordinates. It is assumed that in the course of vibrations one end of the string is inside a bounded closed convex set С belonging to a plane @  perpendicular to the segment along which the string is stretched. In turn, the set C can move in the plane @
, with its motion given by a mapping 
. The end of the string remains free until it touches the boundary of the set 
. After coming into contact, they move together. A formula representing the solution of the initial–boundary value problem describing this vibration process is obtained. The problem of boundary control of the vibration process is considered.

About the authors

M. B Zvereva

Voronezh State University, Voronezh, 394018, Russia

Author for correspondence.
Email: margz@rambler.ru
Воронеж, Россия

References

  1. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи мат. наук. 2005. Т. 60. № 6 (366). С. 89-114.
  2. Ильин В.А. Избранные труды: в 2-х т. M., 2008.
  3. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщённого решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 11. С. 1513-1528.
  4. Моисеев Е.И., Холомеева А.А., Фролов А.А. Граничное управление смещением процессом колебаний при граничном условии типа торможения за время, меньшее критического // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и её приложения. 2019. Т. 160. С. 74-84.
  5. Ильин В.А., Кулешов А.А. Об эквивалентности двух определений обобщённого из класса Lp решения смешанной задачи для волнового уравнения // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 2014. Т. 284. С. 163-168.
  6. Моисеев Е.И., Холомеева А.А. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце струны при заданной упругой силе на другом конце // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 2. С. 151-158.
  7. Никитин А.А. Граничное управление третьим краевым условием // Автоматика и телемеханика. 2007. № 2. С. 120-126.
  8. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Об управляемости упругих колебаний последовательно соединённых объектов с распределёнными параметрами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 1. С. 85-92.
  9. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Наблюдаемость колебаний сети из связанных объектов с распределёнными и сосредоточенными параметрами в точке соединения // Вестник С-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. математика. Информатика. Процессы управления. 2011. № 1. С. 142-146.
  10. Боровских А.В. Формулы граничного управления неоднородной струной // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 1. С. 64-89.
  11. Провоторов В.В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы струн // Вестник С-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. математика. Информатика. Процессы управления. 2012. № 1. С. 62-71.
  12. Zvereva M. A two-dimensional model of string deformations with a nonlinear boundary condition // J. of Nonlin. and Convex Anal. 2022. V. 23. № 12. P. 2775-2793.
  13. Kamenskii M., Liou Y.C., Wen Ch.-F., Zvereva M. On a hyperbolic equation on a geometric graph with hysteresis type boundary conditions // Optimization: J. of Math. Program. and Oper. Res. 2020. V. 69. № 2. P. 283-304.
  14. Kunze M., Monteiro Marques M. An introduction to Moreau's sweeping process // Lect. Notes in Phys. 2000. V. 551. P. 1-60.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences