On the Rank of Nonlinear Quasi-perfect Codes over a Finite Field

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Рассматриваются нелинейные квазисовершенные коды с радиусом упаковки 1 над конечным полем из q элементов, где q – степень простого числа. Эти коды мы называем нелинейными 1-квазисовершенными q-ичными кодами. Изучаются ранг и размерность ядра нелинейных 1-квазисовершенных q-ичных кодов. Если ранг кода равен его длине, то код называется кодом полного ранга. Пусть m – положительное целое число. Доказывается, что при n = qm и при достаточно больших m и q существуют нелинейные 1-квазисовершенные q-ичные коды полного ранга длины n. Также для некоторых нелинейных 1-квазисовершенных q-ичных кодов вычисляются размерности ядра.

About the authors

A. M Romanov

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Email: rom@math.nsc.ru
Новосибирск

References

  1. Романов А.М. О совершенных кодах и кодах Рида–Маллера над конечными полями // Пробл. передачи информ. 2021. Т. 57. № 3. С. 3–16. https://doi.org/10.31857/S0555292321030013
  2. Romanov A.M. On the Number of q-ary Quasi-perfect Codes with Covering Radius 2 // Des. Codes Cryptogr. 2022. V. 90. № 8. P. 1713–1719. https://doi.org/10.1007/s10623-022-01070-y
  3. Romanov A.M. Perfect Mixed Codes from Generalized Reed–Muller Codes // Des. Codes Cryptogr. 2024. V. 92. № 6. P. 1747–1759. https://doi.org/10.1007/s10623-024-01364-3
  4. Baicheva T., Bouyukliev I., Dodunekov S., Fack V. Binary and Ternary Linear Quasi-Perfect Codes With Small Dimensions // IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. V. 54. № 9. P. 4335–4339. https://doi.org/10.1109/TIT.2008.928277
  5. Etzion T., Mounits B. Quasi-perfect Codes with Small Distance // IEEE Trans. Inf. Theory. 2005. V. 51. № 11. P. 3938–3946. https://doi.org/10.1109/TIT.2005.856944
  6. Etzion T. Perfect Codes and Related Structures. Hackensack, NJ: World Sci., 2022.
  7. Phelps K.T., LeVan M. Kernels of Nonlinear Hamming Codes // Des. Codes Cryptogr. 1995. V. 6. № 3. P. 247–257. https://doi.org/10.1007/BF01388478
  8. Heden O. On Perfect p-ary Codes of Length p + 1 // Des. Codes Cryptogr. 2008. V. 46. № 1. P. 45–56. https://doi.org/10.1007/s10623-007-9133-y
  9. Romanov A.M. Hamiltonicity of Minimum Distance Graphs of 1-Perfect Codes // Electron. J. Combin. 2012. V. 19. № 1. Article P65 (6 pp.). https://doi.org/10.37236/2158
  10. Romanov A.M. Disjoint Hamiltonian Cycles in Minimum Distance Graphs of 1-Perfect Codes // Australas. J. Combin. 2017. V. 69. № 2. Part 2. P. 215–221. Available at https://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/69/ajc_v69_p215.pdf
  11. Etzion T., Vardy A. Perfect Binary Codes: Constructions, Properties and Enumeration // IEEE Trans. Inform. Theory. 1994. V.40. № 3. P. 754–763. https://doi.org/10.1109/18.335887
  12. Phelps K.T., Villanueva M. Ranks of q-ary 1-Perfect Codes // Des. Codes Cryptogr. 2002. V. 27. № 1–2. P. 139–144. https://doi.org/10.1023/A:1016510804974
  13. Phelps K.T., Rifa` J., Villanueva M. Rank and Kernel of Binary Hadamard Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2005. V. 51. № 11. P. 3931–3937. https://doi.org/10.1109/TIT.2005.856940
  14. Li X., Shi M., Wang S., Lu H., Zheng Y. Rank and Pairs of Rank and Dimension of Kernel of ZpZp2-Linear Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2024. V. 70. № 5. P. 3202–3212. https://doi.org/10.1109/TIT.2023.3317064
  15. Borges J., Phelps K.T., Rifa` J. The Rank and Kernel of Extended 1-Perfect Z4-Linear and Additive Non-Z4-Linear Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2003. V. 49. № 8. P. 2028–2034. https://doi.org/10.1109/TIT.2003.814490
  16. Васильев Ю.Л. О негрупповых плотно упакованных кодах // Проблемы кибернетики. Т. 8. М.: Физматлит, 1962. С. 337–339.
  17. Romanov A.M. On Nonlinear 1-Quasi-perfect Codes and Their Structural Properties // Probl. Inf. Transm. 2024. V. 60. № 3. P. 141–154. https://doi.org/10.1134/S0032946024030013
  18. Batten L.M. Combinatorics of Finite Geometries, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.
  19. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.
  20. Kasami T., Lin S., Peterson W. New Generalizations of the Reed–Muller Codes. I: Primitive Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1968. V. 14. № 2. P. 189–199. https://doi.org/10.1109/TIT.1968.1054127
  21. Assmus E.F., Key J.D. Polynomial Codes and Finite Geometries // Handbook of Coding Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. Vol. II. P. 1269–1344.
  22. Delsarte P., Goethals J.-M., MacWilliams F.J. On Generalized Reed–Muller Codes and Their Relatives // Inform. Control. 1970. V. 16. № 5. P. 403–442. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(70)90214-7
  23. Августинович С.В., Соловьева Ф.И. О несистематических совершенных двоичных кодах // Пробл. передачи информ. 1996. Т. 32. № 3. С. 47–50. https://www.mathnet.ru/rus/ppi344

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences