On the Stability of Stationary Solutions of the Equations of Motion of the Goryachev–Sretensky Gyrostat

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

The equations of motion of the Goryachev–Sretensky gyrostat are studied. It has been established that one component of the angular velocity vector oscillates with zero average value on all solutions outside the set of zero level of the area integral. All stationary solutions are found, including two states of rest and two parametric families of permanent rotations. Using Chetaev’s method of integral connectives, sufficient conditions for the stability of stationary solutions are obtained. Based on the analysis of the roots of the characteristic equation, instability conditions were obtained. The possibility of gyroscopic stabilization due to the moment of circular-gyroscopic forces under certain conditions has been established.

About the authors

A. A. Kosov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: kosov_idstu@mail.ru
664033, Irkutsk, Russia

References

  1. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953. 287 с.
  2. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001. 384 с.
  3. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наукова думка, 2012. 401 с.
  4. Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае A = B = 4C // Матем. сб. 1900. Т. 21. Вып. 3. С. 431–438.
  5. Чаплыгин С.А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого в одной точке // Тр. Отд. физ. наук Об-ва любителей естествознания. 1901. Т. 10. Вып. 2. С. 32–34.
  6. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149. № 2. С. 292–294.
  7. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2000. 256 с.
  8. Гашененко И.Н. О решении Д.Н. Горячева // Механика твердого тела. 2009. Вып. 39. С. 29–41.
  9. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: ЛГУ, 1988. 144 с.
  10. Маркеев А.П. О тождественном резонансе в одном частном случае задачи об устойчивости периодических движений твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 32–37.
  11. Бардин Б.С. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева–Чаплыгина // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 2. С. 14–21.
  12. Карапетян А.В. Инвариантные множества механических систем с симметрией // Проблемы устойчивости и управления. М.: Физматлит, 2013. С. 184–210.
  13. Щетинина Е.К. Новые решения уравнений Гриоли–Пуассона в случае инвариантного соотношения // Вiсник Донецького нацiонального унiверситету. Сер. А. Природничi науки. 2010. № 2. С. 24–28.
  14. Горр Г.В., Мазнев А.В. О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента // Механика твердого тела. 2017. Вып. 47. С. 12–24.
  15. Yehia H.M. Regular precession of a rigid body (gyrostat) acted upon by an irreducible combination of three classical fields // J. Egyp. Math. Soc. 2017. V. 25. № 2. P. 216–219. https://doi.org/10.1016/j.joems.2016.08.001
  16. Зыза А.В. Компьютерное исследование полиномиальных решений уравнений динамики гиростата // Компьют. исслед. моделир. 2018. Т. 10. № 1. С. 7–25. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2018-10-1-7-25
  17. Grioli G. Questioni di dinamica del corpo rigido // Atti. Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis., Mat. e Natur. 1963. V. 35. f. 1–2. P. 35–39.
  18. Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 6. С. 28–33.
  19. Мерцалов Н.И. Задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку при A = B = 4C и интеграле площадей ≠0 // Изв. АН СССР. Отделение техн. наук. 1946. № 5. С. 697–701.
  20. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
  21. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988. 304 с.
  22. Макеев Н.Н. Интегрируемость гиростатических систем в магнитном поле // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. 2003. Вып. 5. С. 49–70.
  23. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Физматлит, 1987. 304 с.
  24. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов // ПММ. 1961. Т. 25. Вып. 1. С. 9–16.
  25. Анчев А. О перманентных вращениях тяжелого гиростата, имеющего неподвижную точку // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 49–58.
  26. Дружинин Э.И. Устойчивость стационарных движений гиростатов // Труды Казанского авиационного института Казань: Изд-во КАИ. 1966. Вып. 92. С. 12–23.
  27. Дружинин Э.И. Об устойчивости стационарных движений гиростатов в вырожденных случаях // Труды Казанского авиационного института Казань: Изд-во КАИ. 1968. Вып. 97. С. 30–48.
  28. Ковалев А.М. Устойчивость равномерных вращений тяжелого гиростата вокруг главной оси // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 6. С. 994–998.
  29. Vera J.A. The gyrostat with a fixed point in a Newtonian force field: Relative equilibria and stability // J. Math. Anal. Appl. 2013. V. 401. № 3. P. 836–849. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2012.11.003
  30. de Bustos Munoz M.T., Guirao J.L.G., Vera Lopez J.A., Campuzano A.V. On sufficient conditions of stability of the permanent rotations of a heavy triaxial gyrostat // Qualit. Theory Dyn. Syst. 2015. V. 14. № 2. P. 265–280. https://doi.org/10.1007/s12346-014-0128-6
  31. Iñarrea M., Lanchares V., Pascual A.I., Elipe A. Stability of the permanent rotations of an asymmetric gyrostat in a uniform Newtonian field // Appl. Math. Comput. 2017. V. 293. P. 404–415. https://doi.org/10.1016/j.amc.2016.08.041
  32. Kosov A.A., Semenov E.I. On first integrals and stability of stationary motions of gyrostat // Physica D. Nonlin. Phenom. 2022. V. 430. P. 133103. https://doi.org/10.1016/j.physd.2021.133103
  33. Lanchares V., Iñarrea M., Pascual A.I., Elipe A. Stability conditions for permanent rotations of a heavy gyrostat with two constant rotors // Mathematics. 2022. V. 10. P. 1882. https://doi.org/10.3390/math10111882

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 А.А. Косов