The Problem Solution on the Propagation of a Griffith Crack Based on the Equations of a Nonlinear Model

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

On the basis of a nonlinear model of deformation of a crystalline medium with a complex lattice, the problem of the stationary propagation of a Griffith crack under the action of homogeneous expanding stresses is posed and solved. It is shown that the stressed and deformed states of the medium are determined both by external influences on the medium and by the gradients of the optical mode (mutual displacement of atoms). The contributions from these factors are separated. Finding the components of the stress tensor and macro-displacement vector is reduced to solving Riemann–Hilbert boundary value problems. Their exact analytical solutions are obtained.

About the authors

A. N. Bulygin

Institute for Problems in Mechanical Engineering of Russian Academy of Sciences, 199178, St. Petersburg, Russia

Email: yuri.pavlov@mail.ru
Россия, Санкт-Петербург

Yu. V. Pavlov

Institute for Problems in Mechanical Engineering of Russian Academy of Sciences, 199178, St. Petersburg, Russia

Author for correspondence.
Email: yuri.pavlov@mail.ru
Россия, Санкт-Петербург

References

  1. Аэро Э.Л. Микромасштабные деформации в двумерной решетке – структурные переходы и бифуркации при критическом сдвиге // ФТТ. 2000. Т. 42. Вып. 6. С. 1113–1119.
  2. Aero E.L. Micromechanics of a double continuum in a model of a medium with variable periodic structure // J. Eng. Math. 2006. V. 55. P. 81–95. https://doi.org/10.1007/s10665-005-9012-3
  3. Bulygin A.N., Pavlov Y.V. Solution of dynamic equations of plane deformation for nonlinear model of complex crystal lattice / Advanced Structured Materials. V. 164. Mechanics and Control of Solids and Structures. Cham, Switzerland: Springer, 2022. P. 115–136. https://doi.org/10.1007/978-3-030-93076-9_6
  4. Разрушение / Ред. Либовиц Г. Т. 2. Математические основы теории разрушения. М.: Мир, 1975. = Fracture an Advanced Treatise / Ed. by H. Liebowitz. Vol. II. Mathematical Fundamentals. New York, London: Academic Press, 1968.
  5. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М.: “Металлургия”, 1978. = Knott J.F. Fundamentals of Fracture Mechanics. London: Butterworths, 1973.
  6. Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высшая школа, 1980. = Broek D. Elementary Engineering Fracture Mechanics. Dordrecht, The Netherlands: Martinus Nijhoff Publishers, 1984.
  7. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Павлов Ю.В. Нелинейная модель деформирования кристаллических сред, допускающих мартенситные превращения: решение уравнений статики // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 6. С. 30–40. https://doi.org/10.31857/S057232990002538-1
  8. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Павлов Ю.В. Нелинейная модель деформирования кристаллических сред, допускающих мартенситные превращения: плоская деформация // ПММ. 2019. Т. 83. Вып. 2. С. 303–313. https://doi.org/10.1134/S0032823519020024
  9. Frenkel J., Kontorova T. On the theory of plastic deformation and twinning // Acad. Sci. USSR J. Phys. 1939. V. 1. P. 137–149.
  10. Braun O.M., Kivshar Y.S. The Frenkel–Kontorova Model. Concepts, Methods, and Applications. Berlin: Springer. 2004.
  11. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Leipzig: Teubner, 1910.
  12. Лейбфрид Г. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов. М.–Л.: ГИФМЛ, 1963. = Leibfried G. Gittertheorie der Mechanischen und Thermissechen Eigenschaften der Kristalle. Handbuch Der Physik. Band 7. Teil 2. Berlin: Springer-Verlag, 1955.
  13. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: ГИФМЛ, 1963. = Kittel C. Introduction to Solid State Physics. New York: Wiley, 1956.
  14. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручение и изгиб. 5-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1966. 708 с.
  15. Келдыш М.В., Седов Л.И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций // Докл. АН СССР. 1937. Т. 16. № 1. С. 7–10.
  16. Yoffe E.H. The moving Griffith crack // Phil. Mag. Ser. 7. 1951. V. 42. No. 330. P. 739–750. https://doi.org/10.1080/14786445108561302
  17. Inglis C.E. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners // Trans. Instn. Nav. Archit., Lond. 1913. V. 55. P. 219–230.
  18. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Павлов Ю.В. Решения уравнения синус-Гордон с переменной амплитудой // ТМФ. 2015. Т. 184. № 1. С. 79–91. https://doi.org/10.4213/tmf8821
  19. Aero E.L., Bulygin A.N., Pavlov Yu.V. Exact analytical solutions for nonautonomic nonlinear Klein-Fock–Gordon equation / Advances in Mechanics of Microstructured Media and Structures. Advanced Structured Materials. V. 87. Cham, Switzerland: Springer, 2018. P. 21–33. https://doi.org/10.1007/978-3-319-73694-5_2
  20. Aero E.L., Bulygin A.N., Pavlov Yu.V. Some solutions of dynamic and static nonlinear nonautonomous Klein–Fock–Gordon equation / Advanced Structured Materials. V. 122. Nonlinear Wave Dynamics of Materials and Structures. Cham, Switzerland: Springer, 2020. P. 107–120. https://doi.org/10.1007/978-3-030-38708-2_7

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 А.Н. Булыгин, Ю.В. Павлов